Über quadratische Formen mit reellen Koeffizienten.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über quadratische Formen mit reellen Koeffizienten.
zbMATH Open document ID: 36.0166.01
DOI: 10.1007/BF01693781
published in: Monatshefte für Mathematik und Physik
publication date: 1905-01-01T00:00:00Z
review text: Seien \(\pi, \nu\) die Anzahlen der positiven, bzw. negativen Quadrate, die in der kanonischen Darstellung \(x_1^2+\cdots+ x_\pi^2-x_{\pi-1}^2- \cdots- x_{\pi+\nu}^2\) einer reellen quadratischen Form \(f(x_1, \dots, x_n)\) auftreten und nach dem Trägheitsgesetz unabhängig sind von der Transformation auf die kanonische Gestalt. Die algebraische Deutung dieser beiden Anzahlinvarianten an den Koeffizienten von \(f\) ist einigermaßen schwerfällig. Der Verf. stellt ihr deshalb eine ``analytische'' gegenüber, die er der sehr bequemen analytischen Deutung des Falles \(\pi=n\), \(\nu=0\), bzw. \(\pi=0\), \(\nu=n\) durch den positiv-, bzw. negativ-definiten Charakter von \(f\) nachbildet; er deutet den ``Positivrang'' \(\pi\) als die Stufenzahl desjenigen möglichst hochstufigen ebenen Gebildes im \(x\)-Raume, längs dessen überall \(f>0\) ist (unter Ausschluß\ des Gleichheitszeichens), und analog den ``Negativrang'' \(\nu\), und gibt eine von der algebraischen independente Theorie. Insbesondere stellt er der bekannten Deutung der größten und kleinsten Wurzel der Gleichung \(|f-tF|=0\) (unter \(F\) eine positiv-definite Form verstanden) als Maximum, bzw. Minimum von \(\frac fF\) für alle reellen \((x_1, \dots, x_n)\) außer \((0, \dots, 0)\) eine ähnliche ``analytische'' Deutung auch der übrigen Wurzeln dieser Gleichung an die Seite, die einer Behandlung des Hauptachsenproblems der quadratischen Formen als einer Aufgabe der sukzessiven Maxima unter linearen Nebenbedingungen etwa gleichkommen würde.
zbMATH DE Number: 2649797
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01693781
OpenAlex ID: W2056839204
author: Ernst Sigismund Fischer
description: scientific article; zbMATH DE number 2649797