Remark and errata to my paper `` On the theory of modules and ideals''.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Remark and errata to my paper `` On the theory of modules and ideals''.
zbMATH Open document ID: 36.0292.02
DOI: 10.1007/BF01561098
author: E. Lasker
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1905-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158212
review text: Die vorliegende umfangreiche Abhandlung (JFM 36.0292.01) hat zum Ziele, die Theorie der Elimination für die Theorie der Moduln und der Ideale zu verwerten. Sie zerfällt in vier Kapitel, von denen das erste der Entwicklung einiger Elminationssätze gewidmet ist. Der Verf. beweist hier zunächst den Satz: Besteht zwischen \(h\) Formen \(u_1, u_2, \dots, u_h\) von \(m(\geqq h)\) Variabeln \(x_1, x_2, \dots, x_m\), die zusammen mit \(m-h\) Linearformen mit unbestimmten Koeffizienten eine nicht verschwindende Resultante ergeben, eine identische Beziehung: \[ (1) \quad p_1 u_1+p_2 u_2 +\cdots + p_h u_h=0, \] so lassen sich die Formen \(p_h\) wieder linear durch die \(u_h\) ausdrücken: \[ (2) \quad p_i = \sum_{\alpha=1}^h q_{i \alpha} u_\alpha , \] derart, daß\ die \(q_{i \alpha}\) ein \textit{alternierendes} System bilden und die Relation (1) also eine evidente Folge von (2) wird. Hieraus folgt ein zweiter Satz über die zu obigen Formensystem \(u_1, u_2, \dots, u_h\) gehörige Anzahlfunktion \(H(u_1, u_2, \dots, u_h)(R)\), welche die Zahl der linear unabhängigen Bedingungen für Formen \(R\)-ter Ordnung angibt, die durch das Modulsystem \(u_1, u_2, \dots, u_h\) teilbar sein sollen. Wird nämlich \[ \varphi(R) +\frac {(R+1)(R+2) \dots(R+m-1)}{1\cdot 2 \dots (m-1)} \] und \(\varDelta_a f(R) =f(R) -f(R-a)\) gesetzt, so ist, wenn \(a_1, a_2, \dots, a_h\) die Ordnungen resp. von \(u_1, u_2, \dots, u_h\) sind: \[ H(u_1, u_2, \dots, u_h)(R)= \varDelta_{a_1} \varDelta_{a_2} \dots \varDelta_{a_h} \varphi(R), \] falls \(R>a_1+a_2+ \cdots +a_h-m\); falls aber \(R=a_1 +a_2 +\cdots + a_h -m\), gleich dem obigen Werte plus \((-1)^{m-h}\). Ist ferner \(h=m\), so gilt der weitere Satz: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß\ eine Form \(F\) durch das Modulsystem \(u_1, u_2, \dots, u_m\) teilbar ist, besteht darin, daß\ \(F\) zu einer bestimmten Form \(\varOmega\) in kontragredienten Variabeln und vom Grade \(a_1+a_2 + \cdots + a_m-m\) apolar ist. Diesen Sätzen schließen sich zwe…
Mathematics Subject Classification ID: 14A05
Mathematics Subject Classification ID: 14A25
Mathematics Subject Classification ID: 13A15
Mathematics Subject Classification ID: 13F20
Mathematics Subject Classification ID: 13F25
zbMATH DE Number: 2650144
zbMATH Keywords: elimination theory
zbMATH Keywords: ideal theory of polynomial rings in several variables
zbMATH Keywords: zeros of power series
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2650144