On a method of dealing with the intersections of plane curves.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On a method of dealing with the intersections of plane curves.
zbMATH Open document ID: 35.0587.01
DOI: 10.2307/1986270
published in: Transactions of the American Mathematical Society
publication date: 1904-01-01T00:00:00Z
review text: Die Abhandlung führt eine Reihe vom Verf. früher (F. d. M. 30, 509, 1899, JFM 30.0509.03) aufgestellter Sätze weiter aus; vgl. auch eine Arbeit von Ch. A. Scott (F. d. M. 33, 607, 1902, JFM 33.0607.01). Diese Sätze gruppieren sich um das bekannteNoethersche Fundamentaltheorem, daß gewisse Bedingungen hinreichen, damit ein Polynom \(S\) in zwei Variablen \(x\), \(y\) in der Gestalt \(C_1P_1 + C_2P_2\) darstellbar ist, wo \(C_1\), \(C_2\) gegebene und \(P_1\), \(P_2\) unbestimmte Polynome sind. Verlegt man den Koordinatenursprung in irgend einen im Endlichen gelegenen Punkt \(a\), \(b\) und entwickelt \(S\), \(C_1\), \(C_2\) nach steigenden Potenzen von \(x\), \(y\), so nimmt \(S\) die Form \(C_1P_1' + C_2P_2'\) an, wo \(P_1'\), \(P_2'\) unbestimmte Potenzreihen sind, die für verschiedene Punkte \((a,b)\) ganz verschieden sind. So oft ein solcher Punkt ein Schnittpunkt von \(C_1\), \(C_2\) ist, und nur dann, so involviert das ein System von Bedingungen für die Koeffizienten von \(S\); für verschiedene Schnittpunkte sind diese Systeme ganz unabhängig voneinander. Indem man wiederum \(P_1\), \(P_2\) für \(P_1'\), \(P_2'\) schreibt und auch \(C_1\), \(C_2\) allgemeiner als Potenzreihen zugelassen werden, sei \[ S = \sum z_q^p x^{p-q}y^q,\quad C_y = \sum a_q^p x^{p-q}y^q,\quad C_\alpha = \sum b_q^p x^{p-q}y^q\quad (p\geq q\geq 0); \] es handelt sich dann um das ganze System identischer Gleichungen, denen die Koeffizienten \(z_q^p\) von \(S\) zu genügen haben, damit die Identität \(S = C_1P_1 + C_2P_2\) besteht. Wird \(x^{p-q}y^q\) kurz mit \(\alpha_q^p\) bezeichnet, so ist zunächst zu beachten, daß die Identität \(\sum \alpha_q^pz_q^p\) alle ``abgeleiteten'' Identitäten von der Gestalt \(\sum\alpha_q^p z_{q-m}^{p-l}\equiv x^{l-m}y^mS = 0\) \((l\geq m\geq0)\) nach sich zieht. Ist umgekehrt das ``einreihige'' System, bestehend aus der Urgleichung \(\sum \alpha_q^pz_q^p = 0\) nebst allen ihren Ableitungen \[ \sum\alpha_q^p z_{q-m}^{p-l} = 0, \] für \(C_1\) und \(C_2\) erfüll…
zbMATH DE Number: 2654303
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2307/1986270
OpenAlex ID: W4233966880
author: Francis Sowerby Macaulay
description: scientific article; zbMATH DE number 2654303