Über die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage.
zbMATH Open document ID: 35.0720.01
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1904-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/149185
review text: Die Bewegungen, welche in der Abhandlung betrachtet werden, sind solche, die gemäß den Lagrangeschen Gleichungen zweiter Form verlaufen: \[ \frac d{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial q_i'}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} = \frac{\partial\Pi}{\partial q_i}\qquad (i = 1,2,\dots,n). \] Für die Gleichgewichtslage, um welche es sich handelt, seien alle Koordinaten \(q_i\) gleich Null; die lebendige Kraft \(T = \sum a_{\mu\nu}q_\mu' q_\nu'\) in der Umgebung der Ruhelage kann so ausgedrückt gedacht werden, daß \[ (a_{ii})_0 = \frac12,\quad (a_{\mu\nu})_0 = 0 \] für \(\mu\gtrless\nu\), \(\left(\frac{\partial^2\Pi}{\partial q_\mu\partial q_\nu}\right)_0 = 0\). Die Koordinaten \(q_i\) werden in drei Gruppen geteilt. Je nachdem nämlich \(\left(\frac{\partial^2\Pi}{\partial q_\mu^2}\right)_0\) kleiner als 0, größer als 0 oder gleich 0 ist, werden die \(q_\mu\) stabile, instabile oder singuläre Koordinaten genannt. Die behandelte Aufgabe lautet: Es soll die Existenz und Mannigfaltigkeit derjenigen Bewegungen festgestellt werden, welche für einen wenigstens einseitig unbegrenzten Zeitraum in der Nähe der Gleichgewichtslage verlaufen, unter der Voraussetzung, daß keine singulären Koordinaten vorkommen. Man kann dabei folgende drei Fälle unterscheiden: 1. Es kommen nur stabile Koordinaten vor. Ein bekannter Satz von Dirichlet erledigt die Aufgabe. 2. Es kommen nur instabile Koordinaten vor. Diese Frage ist durch die Arbeiten von Kneser (1895 und 1897), Karstens (1901), die im Jahrbuche besprochen sind, und eine russische Arbeit des Verf. (``Über gewisse Differentialgleichungen allgemeinen Charakters, die in der Mechanik Anwendung finden''. Diss. Dorpat 1900; F. d. M. 31, 358-359, 1900, JFM 31.0358.01) zum Abschlusse gebracht worden. 3. Es kommen stabile und instabile Koordinaten vor. Die Untersuchung dieses Falles bildet den Gegenstand der vorliegenden Abhandlung. Liegt in diesem Falle eine genügend klein gewählte Umgebung \(M\) der Gleichgewichtslage vor, definiert durch…
zbMATH DE Number: 2654716
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2040918802
DOI: 10.1515/CRLL.1904.127.179
author: Piers Bohl
description: scientific article; zbMATH DE number 2654716