Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen.
zbMATH Open document ID: 35.0155.01
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1904-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/149177
review text: Das Problem, alle Grupen von höchstens \(h\) \textit{ganzen} linearen homogenen Substitutionen zu finden, die einer gegebenen endlichen Gruppe \({\mathfrak H}\) der Ordnung \(h\) ein- oder mehrstufig isomorph sind, bildet seit einigen Jahren den Gegenstand weitgehender, von \textit{Molien} und \textit{Frobenius} begonnener Untersuchungen über die Gruppenmatrix und die Gruppencharaktere von \({\mathfrak H}\). Verf. stellt sich in der vorliegenden Arbeit das Problem, das er völlig erledigt, alle Gruppen von höchstens \(h\) \textit{gebrochenen} linearen Substitutionen zu finden, die einer endlichen Gruppe \({\mathfrak H}\) der Ordnung \(h\) ein- oder mehrstufig isomorph sind, oder, wie man sagen kann, alle Darstellungen der Gruppe \({\mathfrak H}\) durch gebrochene lineare Substitutionen zu bestimmen. Haben die \(h\) linearen Substitutionen von nicht verschwindender Determinante: \[ \begin{aligned} & \{A\}: \quad x_{\nu} = \frac {a_{\nu 1} y_1 + a_{\nu 2} y_2 + \cdots + a_{\nu n - 1} y_{n - 1} + a_{\nu n}}{a_{n1} y_1 + a_{n2} y_2 + \cdots + a_{nn - 1} y_{n - 1} + a_{nn}},\\ & \{B\}: \quad x_{\nu} = \frac {b_{\nu 1} y_1 + b_{\nu 2} y_2 + \cdots + b_{\nu n - 1} y_{n - 1} + b_{\nu n}}{b_{n1} y_1 + b_{n2} y_2 + \cdots + b_{nn - 1} y_{n - 1} + b_{nn}}, \end{aligned} \] \[ (\nu = 1, 2, \dots, n - 1), \] die den \(h\) verschiedenen Elementen \(A, B, \dots\) der Gruppe \({\mathfrak H}\) zugeordnet sind, die Eigenschaft, daß\ für je zwei Elemente \(A, B\) von \({\mathfrak H}\) die Gleichung \(\{A\}\{B\} = \{AB\}\) besteht, so bilden die \(h\) gebrochenen Substitutionen eine Darstellung von \({\mathfrak H}\). Sind \((A),(B),\dots\) die Matrizen \((a_{ik}), (b_{ik}), \dots\), so wird das Produkt \( (A) (B)\), abgesehen von einem konstanten Faktor, der auch gleich 1 sein kann, gleich der Matrix \((AB)\). Umgekehrt ist durch jedes System von Matrizen \((A), (B), \dots\) von nicht verschwindenden Determinanten, so daß\ für je zwei Elemente \(A, B, \dots\) der Gruppe \((A)(B) = r_{A,…
zbMATH DE Number: 2652934
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W3146176610
DOI: 10.1515/CRLL.1904.127.20
author: Issai Schur
description: scientific article; zbMATH DE number 2652934