A generalisation of the functions \(\Gamma(n)\) and \(x^n\).
Wenn allgemein unter dem Symbol \([n]\) der Wert \((p^n-1)/(p-1)\) verstanden wird, ist die Funktion \(\Gamma_p([n+1])\) definiert als \[ \lim_{k=\infty} \frac{[1]\cdot[2]\cdot[3]\dots\cdot[k]}{[n+1]\cdot [n+2]\cdot [n+3]\cdots [n+n]} [k]^n p^{\frac12n(n+1)}\, (p>1), \] was für \(p=1\) auf die gewöhnliche Gammafunktion hinausläuft. Aus dieser Analogie ergeben sich eine Reihe von Eigenschaften, die denen der Gammafunktionen gleichartig sind und einzeln entwickelt werden. Diese führen ihrerseits wieder auf analoge Verallgemeinerungen der mit den Gammafunktionen in Verbindung stehenden Funktionen, darunter auch auf eine solche der gewöhnlichen Exponentialfunktion, nämlich: \[ (x)_n = [x]^n\cdot \Gamma_{p^x}([n+1])/\Gamma_p([n+1]), \] die für \(p=1\) ebenfalls in die gewöhnliche Exponentialfunktion übergeht. Wozu diese neuen Funktionen gegebenenfalls dienen sollen, wird nicht gesagt (vgl. S. 445 dieses Bandes).
scientific article; zbMATH DE number 2653708