Eine Anwendung des Eisensteinschen Satzes auf die Theorie der Gaußschen Differentialgleichung.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Eine Anwendung des Eisensteinschen Satzes auf die Theorie der Gaußschen Differentialgleichung.
zbMATH Open document ID: 35.0463.01
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1904-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/149180
review text: Der Eisensteinsche Satz besagt: Genügt die Potenzreihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty c_nx^n\) mit rationalen \(c_n\) einer algebraischen Gleichung, so läßt sich eine ganze Zahl \(k\) derart bestimmen, daß \(k^n\cdot c_n\) für alle \(n\) ganzzahlig wird. Dieses Resultat wird in einer von Heine erweiterten Form auf die Gaußsche Reihe angewandt, von der vorausgesetzt wird, daß sie algebraisch ist, und daß somit die Elemente \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) sowie die Koeffizienten der Reihe rational sind. Nimmt man weiter an, daß keine der Zahlen \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma-\alpha\), \(\gamma-\beta\) ganz ist, so ist auch das zweite Integral des zu \(x=0\) gehörigen Fundamentalsystems algebraisch. Die hieraus folgende Bedingung beweist zusammen mit der ersten unmittelbar den Satz: ist die Winkelsumme in dem von Schwarz eingeführten reduzierten Kreisbogendreieck kleiner als \(180^\circ\), so ist die Funktion \(F(\alpha, \beta, \gamma, x)\) transzendent.
zbMATH DE Number: 2653716
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W142476003
DOI: 10.1515/CRLL.1904.127.92
author: Edmund Landau
description: scientific article; zbMATH DE number 2653716