Über polynomische Entwicklungen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über polynomische Entwicklungen.
zbMATH Open document ID: 34.0430.01
DOI: 10.1007/BF01444293
author: G. Faber
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1903-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158104
review text: Eine in einem einfach zusammenhängenden, von einer stetigen Kurve \(C\) begrenzten, endlichen Gebiet \(S\) der \(x\)-Ebene überall reguläre analytische Funktion \(F(x)\) läßt sich, wie aus den fundamentalen Untersuchungen von \textit{Mittag-Leffler} folgt, und wie \textit{Runge} (F. d. M. \( 17\), 379 bis 381, 1885, JFM 17.0379.01) und \textit{Hilbert} (F. d. M. \(28\), 359, 1897, JFM 28.0359.01) direkt bewiesen haben, in \(S\) durch eine nach Polynomen fortschreitende Reihe darstellen, und zwar gibt es unendlich viele solcher Darstellungen. Der Gedanke von \textit{Faber} besteht darin, der Entwicklung die Bedingung aufzuerlegen, daß sie die Form haben soll: \[ F(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nP_n(x), \] wo die Polynome \(P_n(x)\) ausschließlich von dem betrachteten Regularitätsgebiete \(S\) abhängen, dagegen die Koeffizienten \(a_n\) durch die zu entwickelnde Funktion \(F(x)\) bestimmt werden. Eine Entwicklung dieser Art ist die \textit{Taylor}sche Reihe; bei ihr ist \(C\) ein Kreis und \(P_n(x)=x^n\). Dem Verf. ist es gelungen, die Frage für den Fall zu erledigen, daß das Gebiet \(S\) eine aus einem einzigen regulären Zuge bestehende Begrenzung hat. Unter dieser Voraussetzung zeigt er, daß sich in \(S\) reguläre Funktion darin auf eine einzige Weise durch eine der Form: \[ \sum_{n=0}^\infty a_n P_n(x) \] darstellen läßt; dabei sind die Polynome \(P_n(x)\) von dem Grade ihres Index. Die genauere Untersuchung der Reihen \(\sum_{n=0}^\infty a_nP_n(x)\) gründet sich auf folgende Betrachtung. Es sei \(x=g(t)\) eine Funktion, die das unendliche Gebiet der \(x\)-Ebene außerhalb \(S\) auf das Innere des Einheitskreises der \(t\)-Ebene abbildet, und zwar so, daß dem Punkte \(x=\infty\) der Punkt \(t=0\) entspricht. Dann ist \[ g(t)=\tfrac at + P(t), \] wo \(P(t)\) eine Potenzreihe mit nur positiven Potenzen von \(t\) bedeutet, die für \(|t| < 1\) konvergiert. Da aber die Begrenzung von \(S\) aus einem einzigen regulären Zuge besteht, konvergiert \(P(t)\) sogar für \(|t|<1+r\), wo…
zbMATH DE Number: 2656803
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2033036473
description: scientific article; zbMATH DE number 2656803