Über die Fortsetzbarkeit gewisser \textit{Taylor}scher Reihen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die Fortsetzbarkeit gewisser \textit{Taylor}scher Reihen.
zbMATH Open document ID: 34.0432.01
DOI: 10.1007/BF01444292
author: G. Faber
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1903-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158103
review text: Wenn man gesagt hat, daß eine Potenzreihe mit endlichem Konvergenzkreise ``im allgemeinen'' ihren Konvergenzkreis zur natürlichen Grenze habe, so ist doch der Ausdruck ``im allgemeinen'' der Erläuterung bedürftig; denn die Mächtigkeit der nicht fortsetzbaren Reihen ist nicht größer als z. B. die Mächtigkeit der Reihen, die auf dem Konvergenzkreise nur einen singulären Punkt besitzen. Ausgedehnte Klassen fortsetzbarer Potenzreihen hatte bereits \textit{Leau} (F. d. M. 30, 365(?)-369, 1899, JFM 30.0368.01 u. JFM 30.0368.02) angegeben und folgenden Satz bewiesen: Es sei \(g\) eine ganze positive Zahl und \[ P(y)=c_0+c_1y+c_2y^2+\cdots \] eine für \[ |y| \leqq \tfrac 1g \] konvergente Potenzreihe. Alsdann hat der durch die Potenzreihe \[ \sum_{n=1}^\infty P \left( \frac 1n \right) x^n \] definierte eindeutige Zweig einer analytischen Funktion \(F(x)\) in der längs des Stückes der reellen Achse \((1 \dots \infty)\) aufgeschnittenen Ebene keinen singulären Punkt. \textit{Faber} präzisiert diesen Satz dahin, daß der Schnitt \((1 \dots \infty)\) nur ein künstlicher ist, indem der Zweig von \(F(x)\) nur die singulären Punkte 1 und \(\infty\) besitzt; er spricht die Vermutung aus, daß auch die andern Zweige nur die singulären Punkte \(0, 1, \infty\) aufweisen möchten. Einen ähnlichen Satz, wie den vorher angegebenen, hatte \textit{Leau} für die Potenzreihen \[ \sum_{n=1}^\infty G(n)x^n \] bewiesen, in denen \(G(y)\) eine ganze transzendente Funktion ist, die schwächer unendlich wird, als \(e^{ay}\) das heißt, wo bei beliebig gegebenem, positivem \(a\) eine Zahl \(R\) existiert, so daß für \(r > R\) die Ungleichheit gilt: \[ |G(re^{i \varphi})|< e^{ar}. \] \textit{Faber} vervollständigt diesen Satz dahin, daß diese Potenzreihe eine eindeutige Funktion von \(x\) definiert, die sich in der ganzen Ebene mit Ausnahme des Punktes \(x=1\) regulär verhält, während der Punkt \(x=1\) eine wesentlich singuläre Stelle ist; reduziert sich \(G(y)\) auf eine rationale Funktion, so wird \(x=…
zbMATH DE Number: 2656804
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description: scientific article; zbMATH DE number 2656804