Sur la détermination de la croissance des fonctions entières définies par un développement de Taylor.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sur la détermination de la croissance des fonctions entières définies par un développement de Taylor.
zbMATH Open document ID: 34.0440.01
published in: Bulletin des Sciences Mathématiques. Deuxième Série
publication date: 1903-01-01T00:00:00Z
review text: Es sei 1) \(f(x) = c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots\) eine Potenzreihe, \(M{(r)}\) das Maximum ihres Moduls auf dem Kreise \(|x|=r\), \(T{(r)}\) sei das größte der Glieder \(|c_n|r^n\); jedem Werte von \(r\) werde eine ganze Zahl \(n_r\) Zuge ordnet von der Art, daß \(\root^n \of{|c_n|}\,r<k(<1)\) für \(n \geqq n_r\) ist; dann ist \(M{(r)}>T{(r)}\) und \(M{(r)}<n_rT_r\). Diese beiden Ungleichungen genügen für die asymptotische Berechnung von \(M{(r)}\). Bedeutet \(A\) eine positive Konstante, und ist für jeden positiven Wert von \(\varepsilon\) \(\alpha\)) \(\root^n \of{|c_n|} < \left(\frac{1+\varepsilon}{An} \right)^{\frac 1\varrho}\) von einem bestimmten Zeiger \(n_0\) an, und \(\beta\)) \(\root^n \of{|c_n|} > \left(\frac{1-\varepsilon}{An}\right)^{\frac 1\varrho}\) für unendlich viele Zeiger \(n_1,n_2,\dots\), wie klein auch \(\varepsilon\) sein mag, \(M{(r)} < e^{\frac{1+\varepsilon}{Ae \varrho}\, r^\varrho}\) von einem endlichen Werte von \(r\) an, und \(M{(r)}> e^{\frac{1-\varepsilon}{Ae \varrho} r^\varrho}\) für unendlich viele Werte von \(r\), die jede gegebene Größe überschreiten. Damit das Maximum des Moduls der Reihe 1) der asymptotischen Gleichung \(M{(r)}=e^{\frac{1+\varepsilon(r)}{Ae \varrho}\, r^\varrho}\) genügt, ist notwendig und hinreichend, daß für jeden positiven Wert von \(\varepsilon\) die Ungleichung \(\alpha\)) von einem bestimmten Zeiger \(n_0\) an erfüllt ist und die Ungleichung \(\beta\)) für unendlich viele Zeiger \(n_1, n_2, \dots,n_\nu,\dots\), für welche \(\lim_{\nu=\infty} \left( \frac{n_\nu+1}{n_\nu} \right)=1\) ist. Wenn für jeden positiven Wert von \(\varepsilon\) die Ungleichung \[ \root n \of{|c_n|}<\left(\frac 1n \right)^{\frac 1\varrho - \varepsilon} \] von einem endlichen Werte von \(n\) an befriedigt wird und die Ungleichung \(\root^n \of{|c_n|} > \left(\frac 1n \right)^{\frac 1\varrho+\varepsilon}\) für unendlich viele Zeiger \(n_1,n_2,\dots,n_\nu,\dots\), für die \(\lim_{\nu=\infty} \left(\frac{\log n_\nu+1}{\log n_\nu} \right)=1\) i…
Mathematics Subject Classification ID: 30D20
Mathematics Subject Classification ID: 41A58
zbMATH DE Number: 2656815
MaRDI profile type: Publication
author: Ernst Leonard Lindelöf
description: scientific article; zbMATH DE number 2656815