Zur Theorie allgemeiner Zetafunktionen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Zur Theorie allgemeiner Zetafunktionen.
zbMATH Open document ID: 34.0461.02
DOI: 10.1007/BF01444309
author: P. Epstein
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1903-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158078
review text: Da die \textit{Riemann}sche Zetafunktion \(\zeta(s)\) eine Integraldarstellung zuläßt, in welche die Thetafunktion mit der Charakteristik \(|{}_0^0|\) eintritt, so kann auch eine Verallgemeinerung der Zetafunktion in dem Sinne erfolgen, daß an die Stelle obiger die allgemeinste Charakteristik \(|\begin{smallmatrix} g \\ h \end{smallmatrix}|\) tritt, und man kann von hier aus auch zur Aufstellung einer Zetafunktion, die in analoger Beziehung zu den Thetas mehrerer Veränderlichen steht, gelangen. Der Verf. geht demgemäß aus von der Zetafunktion erster Ordnung mit der Charakteristik die schon von \textit{Lipschitz} (J. für Math. 105, 127; F. d. M. 21, 176, 1889, JFM 21.0176.01) untersucht worden ist: \[ Z \begin{vmatrix} g \\ h \end{vmatrix}\;(s)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty} \frac{e^{2\pi imh}}{[(g+m)^2]^{\frac s2}}\,, \] wobei \(g\) und \(h\) als reell vorausgesetzt werden und im Falle eines ganzzahligen \(g\) das Glied mit \(m=-g\) fortzulassen ist. Von dieser nur für \(\Re(s)>1\) geltenden Darstellung gelangt man auf bekanntem Wege zu der uneingeschränkt gültigen Gleichung: \[ \pi^{-\frac s2} \varGamma \left( \frac s2 \right) Z \begin{vmatrix} g \\ h \end{vmatrix} (s) = \int_1^\infty dzz^{\frac s2-1} \vartheta \begin{vmatrix} g \\ h \end{vmatrix} (0,z) + e^{-2\pi igh} \int_1^\infty dzz^{\frac{1-s}{2}-1} \vartheta \begin{vmatrix} h \\ -g \end{vmatrix} (0,z), \] in welcher aber \(g,h\) als nicht ganzzahlig vorausgesetzt werden müssen, während im entgegengesetzten Falle gewisse Modifikationen eintreten. Hieraus folgt: Die Zetafunktion ist, solange \(h\) keine ganze Zahl ist, eine ganze transzendente Funktion von \(s\); im Falle des ganzzahligen \(h\) besitzt sie nur noch bei \(s=1\) einen Pol mit dem Residuum 2. Sie genügt überdies der von \textit{Lipschitz} gefundenen Transformationsgleichung \[ e^{2\pi igh} \pi^{-\frac s2} \varGamma \left( \frac s2 \right) Z \begin{vmatrix} g \\ h \end{vmatrix} (s)=\pi^{-\frac{1-s}{2}} \varGamma \left( \frac{1-s}{2} \right) Z \begin{vm…
zbMATH DE Number: 2656848
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description: scientific article; zbMATH DE number 2656848