Volumen und Oberfläche.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Volumen und Oberfläche.
zbMATH Open document ID: 34.0649.01
DOI: 10.1007/BF01445180
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1903-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158108
review text: Ist \(\mathfrak M\) eine abgeschlossene Menge von Punkten, deren rechtwinklige Koordinaten \(x, y, z\) alle endlich sind, und die nicht alle in einer Ebene liegen, so hat der Ausdruck \(ux + vy + wz\) bei fest gewählten \(u, v, w\) für die Gesamtheit der Punkte von \(\mathfrak M\) ein Maximum, das \(H(u, v, w)\) heiße. Diese Funktion \(H\) besitzt die folgenden Eigenschaften: \[ {(1)}\quad H(0,0,0) = 0, \] \[ {(2)}\quad H(tu,tv,tw)=t H(u,v,w)\quad (t>0), \] \[ (3)\quad H(u_1+u_2,v_1+v_2,w_1+w_2) \leqq H(u_1,v_1,w_1)+H(u_2,v_2,w_2), \] \[ (4)\quad H(u,v,w)+H(-u,-v,-w)>0 \] außer für \(u=v=w=0\). Ist nun \(H(u, v, w)\) eine derartige reelle Funktion der reellen Größen \(u, v, w\), so nennt der Verf. den Bereich \(\mathfrak K\) aller Punkte \(x, y, z\), der bei ganz willkürlichen \(u, v, w\) durch: \[ ux+vy+wz \leqq H \] definiert ist, einen \textit{konvexen} Körper und \(H\) dessen \textit{Stützebenenfunktion.} Wird die Begrenzung des Körpers durch eine analytische Gleichung dargestellt, und besitzt sie überdies in jedem Punkt eine bestimmte Tangentenebene, die immer nur eine Berührung erster Ordnung eingeht, so heißt der Körper ein \textit{vollkommenes Ovaloid.} Jeder beliebige konvexe Körper läßt sich, wie der Verf. zeigt, als die Grenze einer unendlichen Reihe vollkommener Ovaloide darstellen. Mit Hülfe seiner Stützebenenfunktion \(H(u, v, w)\) läßt sich jedes vollkommene Ovaloid durch parallele Normalen auf die Kugelfläche vom Halbmesser 1 beziehen, und sein Volumen wird ein homogener Ausdruck dritten Grades in den Werten \(H(\alpha,\beta,\gamma)\), wo \(\alpha, \beta, \gamma\) einen beliebigen Punkt dieser Kugelfläche bezeichnet. Das Volumen eines beliebigen konvexen Körpers erhält man als Grenze der Volumina vollkommener Ovaloide. Sind \(H_1,\dots, H_m\) die Stützebenenfunktionen von \(m\) Ovaloiden \({\mathfrak K}_1,\dots,{\mathfrak K}_m\) und \(t_1,\dots, t_m\) alle \(\geqq 0\), so ist \(\sum t_k H_k\) wieder die Stützebenenfunktion eines Ovaloides, dessen Vol…
zbMATH DE Number: 2657630
Wikidata QID: Q111291011
MaRDI profile type: Publication
author: Hermann Minkowski
description: scientific article; zbMATH DE number 2657630