Some formulae in eliminations.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Some formulae in eliminations.
zbMATH Open document ID: 34.0195.01
published in: Proceedings of the London Mathematical Society
publication date: 1903-01-01T00:00:00Z
review text: Es seien \(C_1, C_2, \dots, C_n n\) gegebene allgemeine Polynome in \(n\) Variabeln \(x_1, x_2, \dots, x_n\) von der resp. Ordnung \(m_1, m_2, \dots, m_n\). Unter \(t_n\) sei die Zahl \(\varSigma m_1-n+1\) verstanden, unter \(S_1, S_2, \dots, S_n\) \textit{Bézout}sche Faktorenpolynome, so daß der Ausdruck \(\varSigma C_i S_i\) die Ordnung \(t_n\) erhält. Für die Resultante \(R\) der Gleichungen \(C_i=0\) hat schon \textit{Cayley} 1848 (ohne Beweis) einen sehr allgemeinen Ausdruck angegeben von der Gestalt \(\frac{DD_2\dots}{D_1D_3\dots}\), wo das letzte \(D\) den Index \(n-2\) erhält; hier bedeutet \(D\) irgend eine Determinante \((\neq 0)\) der aus den Koeffizienten von \(\varSigma C_i S_i\) zu bildenden Matrix, und \(D_1, D_2, \dots, D_{n-2}\) sind gewisse andere Determinanten. Der Verf. erhält einen übersichtlicheren Ausdruck für \(R\) in der Form \(\frac{D}{\varDelta}\), wo \(D\) eine nach einer gewissen Regel ausgewählte Determinante jener Matrix ist und \(\varDelta\) eine gewisse Unterdeterminante von \(D\). Für drei Gleichungen läßt sich die Übereinstimmung der beiden Ergebnisse \(R=\frac{D}{D_1}=\frac{D}{\varDelta}\) noch direkt nachweisen, obschon \(D_1\) und \(\varDelta\) aus verschiedenen Elementen gebildet sind. Daß die hier entwickelte Gestalt der Resultante inhaltlich mit der sonst auf Grund des \textit{Poisson}schen Produktes erhaltenen übereinstimmt, ergibt sich indirekt daraus, daß die Resultante auch in der neuen Form alle charakteristischen Eigenschaften der Resultante besitzt. Von Bedeutung ist der Begriff der ``Reduktion'' eines Polynoms. Enthält ein solches keinen durch \(x_1^{m_1}\) teilbaren Term, so heißt es in \(x_1\) reduziert, enthält es weiter auch keinen durch \(x_2^{m_2}\) teilbaren Term, so heißt es in \(x_1\) und \(x_2\) reduziert, usf. In dem Aggregat \(C_1S^{(0)}+C_2S^{(1)}+C_3^{(2)}+\cdots\) der Ordnung \(t\) bedeutet \(S^{(0)}\) ein Polynom der Ordnung \(t-m_1\) mit willkürlichen Koeffizienten, \(S^{(1)}\) ein solches der Ordnung…
zbMATH DE Number: 2656162
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s1-35.1.3
OpenAlex ID: W1977574397
Wikidata QID: Q29036412
DOI: 10.1112/PLMS/S1-35.1.3
author: Francis Sowerby Macaulay
description: scientific article; zbMATH DE number 2656162