Some formulae in eliminations.
Es seien \(C_1, C_2, \dots, C_n n\) gegebene allgemeine Polynome in \(n\) Variabeln \(x_1, x_2, \dots, x_n\) von der resp. Ordnung \(m_1, m_2, \dots, m_n\). Unter \(t_n\) sei die Zahl \(\varSigma m_1-n+1\) verstanden, unter \(S_1, S_2, \dots, S_n\) \textit{Bézout}sche Faktorenpolynome, so daß der Ausdruck \(\varSigma C_i S_i\) die Ordnung \(t_n\) erhält. Für die Resultante \(R\) der Gleichungen \(C_i=0\) hat schon \textit{Cayley} 1848 (ohne Beweis) einen sehr allgemeinen Ausdruck angegeben von der Gestalt \(\frac{DD_2\dots}{D_1D_3\dots}\), wo das letzte \(D\) den Index \(n-2\) erhält; hier bedeutet \(D\) irgend eine Determinante \((\neq 0)\) der aus den Koeffizienten von \(\varSigma C_i S_i\) zu bildenden Matrix, und \(D_1, D_2, \dots, D_{n-2}\) sind gewisse andere Determinanten. Der Verf. erhält einen übersichtlicheren Ausdruck für \(R\) in der Form \(\frac{D}{\varDelta}\), wo \(D\) eine nach einer gewissen Regel ausgewählte Determinante jener Matrix ist und \(\varDelta\) eine gewisse Unterdeterminante von \(D\). Für drei Gleichungen läßt sich die Übereinstimmung der beiden Ergebnisse \(R=\frac{D}{D_1}=\frac{D}{\varDelta}\) noch direkt nachweisen, obschon \(D_1\) und \(\varDelta\) aus verschiedenen Elementen gebildet sind. Daß die hier entwickelte Gestalt der Resultante inhaltlich mit der sonst auf Grund des \textit{Poisson}schen Produktes erhaltenen übereinstimmt, ergibt sich indirekt daraus, daß die Resultante auch in der neuen Form alle charakteristischen Eigenschaften der Resultante besitzt. Von Bedeutung ist der Begriff der ``Reduktion'' eines Polynoms. Enthält ein solches keinen durch \(x_1^{m_1}\) teilbaren Term, so heißt es in \(x_1\) reduziert, enthält es weiter auch keinen durch \(x_2^{m_2}\) teilbaren Term, so heißt es in \(x_1\) und \(x_2\) reduziert, usf. In dem Aggregat \(C_1S^{(0)}+C_2S^{(1)}+C_3^{(2)}+\cdots\) der Ordnung \(t\) bedeutet \(S^{(0)}\) ein Polynom der Ordnung \(t-m_1\) mit willkürlichen Koeffizienten, \(S^{(1)}\) ein solches der Ordnung \(t-m_2\) jedoch reduziert in \(x_1\), \(S^{(2)}\) ein solches der Ordnung \(t-m_3\) jedoch reduziert in \(x_1\) und \(x_2\), usf. Allgemeiner, wenn aus den vorgelegten Polynomen \(C_1, C_2, \dots, C_n\) etwa \(C_p, C_q, C_r, \dots\) herausgegriffen werden, so soll in \[ C_pS^{(0)}+C_qS^{(1)}+C_rS^{(2)}+\cdots \] \(S^{(1)}\) in \(x_p\) reduziert sein, \(S^{(2)}\) in \(x_p x_q\) usf. Zugrunde liegt der bekannte \textit{Bézout}sche Satz, daß irgend ein Polynom \(C\) von der Ordnung \(t\) stets und nur auf eine einzige Art in die Form \(C_1 S^{(0)}+C_2 S^{(1)}+\cdots+C_l S^{(l-1)}+S^{(l)}\) gebracht werden kann, wo die \(C\) als allgemeine Polynome gegeben seien. Der Beweis ergibt sich durch Koeffizientenvergleichung. Im besondern folgt hieraus der oft gebrauchte Satz, daß ein Polynom \(C_1 S_1+\cdots+C_l S_l\) stets und nur auf eine Art in die kanonische Gestalt \(C_1 S^{(0)}+C_2 S^{(1)}+\cdots+C_l S^{(l-1)}\) gebracht werden kann. Nunmehr wird der Begriff der ``Matrix'' eines Aggregates \[ C_1 S_1+\cdots+C_n S_n \] von der Ordnung \(t\) aufgestellt. Man schreibe in eine Reihe alle Potenzprodukte \(\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_\mu\) der Variabeln \(x\) (von der Ordnung \(t\)); ist \(\omega\) irgend ein Potenzprodukt von \(S_p\), so schreibe man die Koeffizienten von \(\omega C_p\) Cp unter die entsprechenden Argumente \(\omega_1, \dots, \omega_\mu\) und links davon den Koeffizienten von \(\omega\) in \(S_p\). Sind \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_\varrho\) der Reihe nach alle Koeffizienten der \(S_i\) so entspringt eine Matrix mit \(\mu\) Kolonnen und \(\varrho\) Reihen, die oben mit den \(\omega\) und links mit den \(\lambda\) ``gerändert'' ist. Dieses Diagramm kann als vollständiger Ersatz für das Aggregat \(C_1 S_1+\cdots+C_n S_n\) gelten. Unter \(D(n, t)\) ist die Determinante zu verstehen, deren Verschwinden das Kriterium für die Existenz der Identität \[ C_1 S^{(0)}+C_2 S^{(1)}+\cdots+C_n S^{(n-1)}=S^{(n)} \] (für die Ordnung \(t\)) ist. Ist \(t\) kleiner als alle \(m_i\) setze man \[ D(n, t)=1. \] Weiter bedeute \(R(n, t)\) den größten gemeinsamen Teiler aller \(n!\) Determinanten \(D(n, t)\), die durch Permutation der Indizes \(1, 2, \dots, n\) entstehen, und \(t_n\) die Zahl \(\sum m_i-n+1\). Bildet man jetzt den Ausdruck \(R(n, t_n)\), so fällt er mit der Resultante der \(C_1, C_2, \dots, C_n\) zusammen. Denn in diesem Falle wird in der obigen Matrix \(\mu=\varrho\), und ihr Verschwinden ergibt die notwendige und hinreichende Bedingung für die Koexistenz der Gleichungen \(C_1=0, \dots, C_n=0.\) Der Grad von \(R(n, t)\) in den Koeffizienten von \(C-r\) wird gleich der Anzahl der Argumente der Ordnung \(t-m_r\), die in allen Variabeln exkl. \(x_r\) reduziert sind. Es ist sodann die Frage zu beantworten, in welcher Beziehung \(D(n, t)\) zu \(D'(n, t)\) steht, wenn \(D'(n, t)\) irgend einer andern Anordnung der Indizes entspricht. Gehören zu \(D'(n, t)\) die \(S\)-Koeffizienten \(\lambda'\), so drücken sich die \(\lambda'\) durch die \(\lambda\) linear aus. Versteht man unter \({\lambda'} \choose {\lambda}\) die Substitutionsdeterminante, so gilt die wichtige Relation \[ \frac{D(n, t)}{D'(n, t)}={{\lambda'} \choose {\lambda}}. \] Eine genauere Untersuchung der Substitutionskoeffizienten lehrt, daß \(D(n, t)\), und damit auch \(R(n, t)\), durch alle Faktoren von \(D'(n,t)\) teilbar ist, die Koeffizienten von \(C_r\) enthalten, und hieraus fließt die obige Gradangabe für \(R(n, t)\). Im besondern folgt also als Grad von \(R(n, t_n)\) in den Koeffizienten von \(C_r\) die Zahl \(\frac{m!}{m_r}\), wie es für die Resultante der \(C_i\) sein muß. Welche Beziehung besteht nun zwischen \(D(n, t)\) und \(R(n, t)?\) Man erhält die grundlegende Rekursionsformel: \[ \frac{D(n, t)}{R(n, t)}=\frac{D(n-1, t)}{R(n-1, t)}\cdot \frac{D(n-1, t-1)}{R(n-1, t-1)}\cdots \frac{D(n-1, t-m_n+1)} {D(n-1, t-m_n+1)} \] \[ \times D(n-1, t-m_n) D(n-1, t-m_n-1)\dots D(n-1, 1). \] Diese Relation läßt sich aber sukzessive zusammenziehen, so daß sich schließlich \(R(n, t)\) ergibt als Quotient von \(D(n, t)\) durch diejenige Unterdeterminante \(\varDelta(n, t)\) die entsteht, wenn man alle Kolonnen streicht, die den in \(n-1\) Variabeln reduzierten Argumenten zugehören und des gleichen alle Reihen, die \(C_r(r=1, 2, \dots, n-1)\) für alle in \(x_{\nu+1}, \dots, x_n\) reduzierten Faktoren entsprechen. Das genau Entsprechende gilt wiederum für die Resultante \(R(n, t_n)\) der \(C\). Das Problem, die Division von \(D(n, t_n)\) durch \(\varDelta(n, t_n)\) theoretisch auszuführen, also die Resultante auf diesem Wege als ganze Funktion der Koeffizienten herzustellen scheint vor der Hand nicht lösbar zu sein. Dagegen läßt der Nenner \(\varDelta(n, t_n)\) noch weitere Reduktionen zu. Zwischen den \(D\) einerseits den \(R\) andererseits existiert noch eine Reihe weiterer bemerkenswerter Relationen so z. B. \[ D(n, t)=D(n-1, t) D(n, t-1), \] \(R(n, t)=R(n, t_n)\), für \(t>t_n\). Es sei betont, daß die Arbeit des Verf. nach Ansicht des Referenten einen namhaften Fortschritt in der Theorie, insbesondere von der Struktur der Resultante bezeichnet.
scientific article; zbMATH DE number 2656162