On cardinal numbers.
Der erste Abschnitt dieser Schrift ist der \textit{Peano}schen Zeichenschrift, der zweite der \textit{Russell}schen Theorie der Relationen, der dritte, vierte und fünfte der Theorie der Kardinalzahlen gewidmet, wobei die Symbole der mathematischen Logik durchgehends gebraucht werden und die Sätze nach der dezimalen Methode numeriert sind. Hier bietet sowohl die Behandlungsweise als der Inhalt manches Neue der, und es ist daher der Mühe wart, einige Hauptpunkte hervorzuheben. Die Kardinalzahl einer Menge \(u\) ist die Menge der zu \(u\) ähnlichen (oder nach \textit{Cantor} äquivalenten) Mengen (1,3). 1 ist eine Menge, die, wenn \(x\) ein derselben angehöriges Element ist, kein von \(x\) verschiedenes Element enthält (1,4). Von 1 ausgehend, werden sämtliche endlichen Kardinalzahlen nach und nach dadurch erzeugt, daß\ man \(n\) als eine Menge definiert, welche \(n-1\) von einem vorgegebenen Elemente derselben verschiedene Elemente enthält (1,5). Eine nicht endliche Kardinalzahl heißt unendlich (1,8). Eine Kardinalzahl \(\alpha\) ist dann und nur dann endlich, wenn \(\alpha\neq\alpha+1\) (2,75); sie ist dann und nur dann unendlich, wenn \(\alpha=\alpha-1\) (2,76). Es wird nun ein ungewiesener Satz als Postulat (``primitive Proposition'') eingeführt (4,3); eine solche Einführung, welche wohl etwas sonderbar erscheinen darf, geschieht nach dem Verf. nur, um die Wichtigkeit des der Prüfung bedürftigen Satzes an dessen Folgen zu zeigen. Der Satz darf so ausgesprochen werden: Jede Menge läßt sich auf die Form einer Menge abzählbarer Mengen bringen; oder auch: Ist \(\alpha\) irgend die Kardinalzahl, so gibt es stets eine solche Kardinalzahl \(\beta\), daß\ \(\alpha=\alpha_0\beta\) ist, wobei \(\alpha_0\) die Kardinalzahl der abzählbaren Mengen (das \textit{Cantor}sche \(\aleph_0\)) bezeichnet. Als Korollare dieses Postulates mögen die folgenden Sätze angeführt werden: \(\alpha+\alpha=\alpha\) (4,32); \(\alpha\alpha_0=\alpha\) (4,33); ist \(\beta<\alpha\), so ist \(\alpha+\beta=\alpha\) (4,38); ist \(\beta<\gamma\), so ist \(\alpha\beta\leq\alpha\gamma\) (4,39), \(\alpha^{\beta}\leq \alpha^{\gamma}\) (4,4), \(\beta^{\alpha}\leq\gamma^{\alpha}\) (4,41). Auch der Äquivalenzsatz wird vom Verf. auf Grund seines Postulates bewiesen (4,5). Wesentlich neu ist die Ausdehnung der Begriffe von Summe (7,1) und Produkt (7,21) auf unendliche viele Kardinalzahlen, sowie die Anwendung auf unendliche Kardinalzahlen der Binomialentwickelung (17 u. f.) und der Abzählung von Kombinationen (15,1) und Permutationen (22,01).
scientific article; zbMATH DE number 2659006