On the representation of a group of finite order as a permutation group, and on the composition of permutation groups.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the representation of a group of finite order as a permutation group, and on the composition of permutation groups.
zbMATH Open document ID: 33.0147.01
published in: Proceedings of the London Mathematical Society
publication date: 1902-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://zenodo.org/record/1744791
review text: Hat man eine abstrakte Gruppe \(G\) endlicher Ordnung, so bezeichnet Verf. die Permutationsgruppen, mit denen \(G\) holoedrisch oder meroedrisch isomorph ist, als Darstellungen von \(G\) als Permutationsgruppe. Unter einer Permutationsgruppe ist hierbei jene besondere Gattung endlicher linearer homogener Substitutionsgruppen verstanden, bei denen jede Operation nur in einer Permutation der Variablen besteht. Ist \(G\) auf zwei Weisen als Permutationsgruppe in der gleichen Variablenzahl dargestellt, so heißen die zwei Darstellungen äquivalent, wenn man sie durch eine lineare homogene Substitution von nicht verschwindender Determinante in einander transformieren kann. Der Aufsatz ist der Frage gewidmet, wann sind zwei Darstellungen von \(G\) als Permutationsgruppe äquivalent, erstens, wenn die überführende Substitution darauf beschränkt ist, eine bloße Permutation zu sein, zweitens, wenn als überführende Substitution eine beliebige lineare homogene Substitution zugelassen wird? Zur Lösung betrachtet Verf. nach \textit{W. von Dyck} die sämtlichen verschiedenen transitiven Darstellungen \(G_1, G_2, \dots, G_{\mu}\) der Gruppe \(G\) als Permutationgruppe; ihre Anzahl ist gleich der Zahl nicht konjugierter Untergruppen von \(G\), wobei die Identität und \(G\) selbst auch als Untergruppen zu zählen sind. Diese \(\mu\) Darstellungen \[ G_1, G_2, \dots, G_{\mu} \] sind in dem Sinne verschieden, daß\ sie durch keine Permutation in einander transformierbar sind. Ist \(G\) zu einer intransitiven Gruppe \(\varGamma\) holoedrisch oder meroedrisch isomorph, so ist \(\varGamma\) stets von der Form \[ \sum_{i=1}^{i=\mu} a_iG_i, \] wobei \(a_i\) die Anzahl transitiver Konstituenten von \(\varGamma\), die \(G_i\) äquivalent sind, angibt; \(a_i\) ist daher Null oder eine ganze positive Zahl. Jede Permutationsgruppe \(\sum_{i=1}^{i=\mu}\;a_iG_i\) ist, wenn bloße Permutationen zur Transformation zugelassen werden, nur sich selbst äquivalent. Zwei Permutationsgruppen, die nicht durch eine…
zbMATH DE Number: 2659224
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2086815608
DOI: 10.1112/PLMS/S1-34.1.159
author: William Burnside
description: scientific article; zbMATH DE number 2659224