On periodic approximations of algebraic numbers.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On periodic approximations of algebraic numbers.
zbMATH Open document ID: 33.0216.02
DOI: 10.1007/BF02415501
published in: Acta Mathematica
publication date: 1902-01-01T00:00:00Z
review text: Der Verf. stellt sich die Frage nach denjenigen algebraischen Zahlen, welche analoge periodische Approximationen besitzen, wie sie die reellen algebraischen Zahlen zweiten Grades vermöge der Periodizität ihrer Entwickelungen in gewöhnliche Kettenbrüche aufweisen. In einer früheren Arbeit (Gött. Nachr. 1899; s. F. d. M. 30, 195, 1899, JFM 30.0195.02) hatte er folgendes Kriterium für algebraische Zahlen \(n\)-ten Grades aufgestellt: Es gibt zu jeder reellen Zahl \(r \geqq 1\) eine Substitution \[ (S) \quad x_h=s_h^{(1)}y_1+s_h^{(2)}y_2+\dotsm+s_h^{(n)}y_n \] mit ganzzahligen Koeffizienten, deren absolute Beträge, durch \(r\) dividiert, eine gewisse von \(r\) unabhängige Grenze nicht überschreiten, und mit einer von Null verschiedenen Determinante, welche absolut kleiner als \(n!\) ist; geht durch diese Substitution die mit der algebraischen Zahl \(\alpha\) gebildete Linearform \[ \xi=x_1+\alpha x_2+\alpha^2 x_3+\dotsm+\alpha^{n-1}x_n \] in \[ \xi=\varrho_1 y_1+\varrho_2 y_2+\dotsm+\varrho_n y_n \] über, so kommt für die Verhältnisse \(\varrho_1:\varrho_2:\dots :\varrho_n\) von vornherein nur eine endliche Zahl verschiedener und von \(r\) unabhängiger Wertsysteme in Betracht, und wenn \(l=1\) oder \(=2\) gesetzt wird, je nachdem die algebraische Zahl \(\alpha\) reell oder komplex ist, so liegen die absoluten Beträge von \(\varrho_1 r^{\frac{n-l}{l}}, \varrho_2 r^{\frac{n-l}{l}}, \dots, \varrho_n r^{\frac{n-l}{l}}\) unter einer gewissen von \(r\) unabhängigen Grenze. Bildet man für eine Reihe unbegrenzt wachsender Zahlen \(r\) eine Kette von Substitutionen \(S_1, S_2, S_3, \dots\), so wird dieselbe periodisch genannt, wenn die daraus abgeleitete Reihe von Substitution: \[ Q_1=S_1^{-1}S_2, \; Q_2=S_2^{-1}S_3, \; Q_3=S_3^{-1}S_4, \; \dots \] von einer gewissen Stelle ab periodisch wird, so daß\ \(Q_j=Q_{j+p}\) ist, und es wird die Frage gestellt und beantwortet, wenn für eine algebraische Zahl \(\alpha\) periodische Substitutionsketten existieren. Es ergiebt sich als notw…
Mathematics Subject Classification ID: 11J70
zbMATH DE Number: 2659514
zbMATH Keywords: algebraic number
zbMATH Keywords: periodic approximation
zbMATH Keywords: multi-dimensional continued fraction
zbMATH Keywords: periodic continued fraction
Wikidata QID: Q108689289
MaRDI profile type: Publication
author: Hermann Minkowski
description: scientific article; zbMATH DE number 2659514