Non uniform convergence, and the integration of series.
Wenn die Glieder einer unendlichen Reihe in einem gegebenen, als Bereich der Veränderlichen genommenen Intervall stetige Funktionen einer reellen Veränderlichen sind und die Reihe in jedem Punkte des Intervalls konvergiert, so konvergiert die Reihe nicht gleichmäßig in einem Punkte, in welchem die Summe der Reihe unstetig ist; dagegen ist in der nicht gleichmäßigen Konvergenz in der Umgebung des Punktes nicht notwendig die Unstetigkeit der Summe in diesem Punkte enthalten. Für den Fall, daß\ die Summe der Reihe in dem ganzen Intervall stetig ist, ist die allgemeinste Verteilung der Punkte nicht gleichmäßiger Konvergenz durch \textit{Osgood} angegeben worden. Er hat gezeigt, daß\ die Punkte, in denen der Grad der nicht gleichmäßigen Konvergenz eine willkürlich fixierte positive Zahl übersteigt, eine geschlossene, in dem gegebenen Intervall nicht dichte Menge bilden, und daß\ die Punkte gleichmäßiger Konvergenz eine überall dichte Menge bilden. Die Summe einer solchen Reihe ist nach Baire höchstens eine punktweis-unstetige Funktion, d. h. in einem beliebigen Subintervall können Punkte gefunden werden, in denen die Funktion stetig ist. Die Verteilung der Punkte nichtgleichmäßiger Konvergenz, die für die Integration der Reihe wichtig ist, ist von \textit{Baire} nicht betrachtet. Im Anschlußan \textit{Baire} wird gezeigt, daß\ die allgemeinste Verteilung der Punkte nicht gleichmäßiger Konvergenz dieselbe ist, wie in dem speziellen, von \textit{Osgood} behandelten Falle, in welchem die Summe der Reihe im Konvergenzbereich überall stetig ist; für den \textit{Baire}schen Satz wird ein einfacherer Beweis gegeben. Wenn die Summe überall stetig ist, so besteht nach \textit{Osgood} eine hinreichende Bedingung dafür, daß\ das Integral der Summe durch die Summe der Integrale der Glieder der Reihe darstellbar ist, darin, daß\ es im Integrationsintervall keine Punkte gibt, in denen der Grad nichtgleichmäßiger Konvergenz unendlich großist: Ist die Summe der Reihe eine punktweis-unstetige Funktion, so ist ihre Integrierbarkeit unsicher. Unter der Voraussetzung der Integrierbarkeit der Summe wird gezeigt, daß\ das Integral die Summe der Integrale ist, wenn eine der \textit{Osgood}schen Bedingung entsprechende Bedingung erfüllt ist, umgekehrt daß\ der Grad nichtgleichmäßiger Konvergenz überall kleiner als eine fest fixierte endliche Zahl ist.
scientific article; zbMATH DE number 2659627