On the discontinuity of arbitrary constants that appear as multipliers of semi-convergent series. (A letter to the Editor).
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the discontinuity of arbitrary constants that appear as multipliers of semi-convergent series. (A letter to the Editor).
zbMATH Open document ID: 33.0261.01
DOI: 10.1007/BF02415503
published in: Acta Mathematica
publication date: 1902-01-01T00:00:00Z
review text: Das Integral der Differentialgleichung \[ \frac {d^2y}{d x^2} + \frac 1x\;\frac {dy}{dx} - \frac {n^2}{x^2} = y \] kann in der Form \[ (1)\quad y=A x^n \left(1+ \frac {x^2}{2(2 + 2n)} + \cdots \right) +B x^{-n} \left(1+\frac {x^2}{2(2-2n)}+\cdots \right) \] oder \[ (2) \quad y = Cx^{- \frac 12} e^x \left(1 + \frac {1^2 - (2n)^2}{8x} + \cdots \right)+Dx^{-\frac 12} e^{-x}\left(1 - \frac{1^2 - (2n)^2}{8x}+\cdots\right) \] geschrieben werden. Wird \(x = r( \cos \theta + i \sin \theta)\) für \(0 < r < \infty\), \(-\pi < \theta < \pi\) gesetzt, so ist die Reihe (1) beständig konvergent und definiert die Funktion \(y\) vollständig in dem angegebenen Bereich, ist aber für große Werte von \(r\) nicht zur numerischen Berechnung geeignet, da sie für solche Werte schnell divergiert. Dagegen ist die Reihe (2) beständig divergent, konvergiert aber schnell für große Werte von \(r\). Der Verf. gibt an, wie man dies Paradoxon erklären kann.
zbMATH DE Number: 2659633
author: George Gabriel Stokes
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02415503
OpenAlex ID: W162784614
description: scientific article; zbMATH DE number 2659633