Lectures on the Theory of Analytic Functions. First Part. Functions in General. Analytic Functions: Their Modes of Definition and Representation.
``Eine gewisse Nützlichkeit kann man den didaktischen Werken zusprechen, welche das Lesen unserer großen Werke über die Analysis und der Originalabhandlungen dadurch vorbereiten, daß\ sie die in zahlreichen Bänden zerstreuten Dinge zusammenstellen, sie im Auszuge vorführen, sie vereinfachen, sie von verwickelteren Fragen loslösen. Das vorliegende Werk ist dem Studium der analytischen Funktionen gewidmet. \(\dots\) Um ihm seinen elementaren Charakter zu wahren und trotzdem den Leser nicht über die Verwicklungen der Fragen, an die er geht, zu täuschen, haben wir es für gut gehalten, dem Texte die einfachsten Sätze vorzubehalten und die anderen in Fußnoten zu verweisen. In diesen zahlreichen und knappen Noten werden die Schwierigkeiten, welche die Probleme mit sich bringen, oder die interessanten Verallgemeinerungen vorgeführt; der Leser findet in ihnen zuweilen einen Fingerzeig für ihre Lösung, stets aber bibliographische Angaben, die den Übergang zu den Quellen vermitteln. Sie werden also für Forschungen als Führer und als elementares Repertorium dienen. Ebenso haben wir zur Erleichterung der Lektüre für Aufänger es für gut gehalten, die ersten Kapitel so zu fassen, daß\ man ohne große Unzuträglichkeit die Ordnung, in der sie stehen, umkehren kann. Mehrere Paragraphen erscheinen sogar als kurze Monographien, die aus dem Texte ausgeschieden werden könnten.'' Das Werk, dessen erster Teil dem Berichtsjahre angehört, ist also ein Lehrbuch zur Einführung in die Funktionentheorie; sein Verf. zeigt eine große Belesenheit in der gesamten zu beachtenden Literatur. Die Darstellung ist von der Klarheit, deren sich die französischen Schriftsteller stets befleißigen, und somit wird das Buch, seinem Zwecke entsprechend, viele Leser finden. Die Einleitung umfaßt zwei Abschnitte zu je drei Paragraphen. Ein kurzer Überblick über die Fragen des Zahlbegriffs, die Mengenlehre, die Typen der Funktionen wird im ersten Abschnitt gegeben; der zweite handelt folgeweise von den stetigen Funktionen, von den Funktionen, die eine bestimmte Ableitung besitzen, und von den eindeutigen analytischen Funktionen. Nun folgt das erste ``Buch'', das in dem vorliegenden Bande noch nicht bis zu Ende geführt ist, über die allgemeinen Methoden zur Definition und zur Darstellung der Funktionen. Von den fünf Kapiteln, die hier vorliegen, beschäftigt sich das erste mit den algebraischen Funktionen, indem zunächst die eindeutigen, danach besondere vieldeutige Funktionen besprochen werden. Die allgemeine algebraische Funktion und die Haupteigenschaften der Riemannschen Flächen bilden die wesentlichsten Teile dieser Betrachtung. Umfangreicher ist das zweite Kapitel über Funktionen, die durch einfache Reihen definiert werden. Der erste Abschnitt erledigt zuerst die allgemeinen Sätze über die Reihen, insbesondere die Potenzreihen, deren Bezeichnung \({\mathfrak {P}} (z) \) nach \textit{Weierstraß} gebraucht wird, ohne daß\ die Verdienste des deutschen Gelehrten um diese Theorie gewürdigt werden, und deren Benennung als ``ganze Reihen'', von \textit{Méray} eingeführt, im Buche festgehalten wird. Dann folgen die unendlichen Produkte, die trigonometrischen Reihen, die divergenten Reihen nach der in dem letzten Jahrzehnt entwickelten Theorie. In dem zweiten Abschnitt wird die Anwendung auf die elementaren Transzendenten gemacht. Die Reihen für die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen, die inversen Funktionen derselben, die unendlichen Produkte für die trigonometrischen Funktionen, die Gammafunktion und die hypergeometrischen Reihen nebst den besonderen Funktionen: Kugel- und Zylinderfunktionen, dienen der Reihe nach als Beispiele für die vorher entwickelten allgemeinen Theoreme. Nicht ganz so umfangreich, aber besonders wichtig ist das dritte Kapitel über die durch vielfache Reihen definierten Funktionen. Auch hier werden im ersten Abschnitt die allgemeinen Sätze über vielfache Reihen im allgemeinen, über Potenzreihen mit mehreren Variabeln (wo auch der Name série de puissances gebraucht wird) und über vielfache unendliche Produkte entwickelt, und dann folgen im zweiten Abschnitt die Anwendungen auf die Transzendenten höherer Ordnung: die doppeltperiodischen Funktionen, die Funktionen von \(p\) Argumenten und \(2p\) Perioden, die \textit{Weierstraß}schen Funktionen \(\sigma, \zeta, \wp, \) die \textit{Jacobi}schen Thetafunktionen, die Thetafunktion von beliebig vielen Argumenten. Die Definition der Funktionen durch Integrale bildet den Gegenstand des vierten Kapitels. Natürlich muß\ der Begriff des Integrals zuerst allseitig beleuchtet werden; dann werden die \textit{Cauchy}schen Integrale sowie die sich anschließenden Betrachtungen erledigt. {Daß}\ hier das Fundamentaltheorem der Algebra wieder als Theorem von d'Alembert bezeichnet wird, ist zwar allgemeiner Gebrauch in Frankreich; dieser Mißbrauch sollte aber doch nicht zur Unterdrückung des Namens \textit{Gauß} und seiner grundlegenden Abhandlungen führen. Die analytische Fortsetzung nach \textit{Weierstraß} ist das im Kapitel V behandelte Thema, dessen Behandlung bis in die neuesten Arbeiten verfolgt wird. Wegen der Reichhaltigkeit der teils durchgeführten, teils bloß\ angedeuteten Gesichtspunkte wird die Lektüre des Buches anregend wirken, und damit wird es sich als eine nützliche Bereicherung der mathematischen Literatur erweisen. Meinungsverschiedenheiten über einzelne Punkte können hier nicht zum Austrage gebracht werden.
scientific article; zbMATH DE number 2659931