On the analytic representation of a single-valued branch of a monogenic function.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the analytic representation of a single-valued branch of a monogenic function.
zbMATH Open document ID: 33.0403.01
DOI: 10.1007/BF02415502
published in: Acta Mathematica
publication date: 1902-01-01T00:00:00Z
review text: Während in den vorhergehenden drei Noten (F. d. M. 30, 364, 1899 und 31, 404, 1900, JFM 30.0364.05, JFM 31.0404.04) im Sinne der \textit{Weierstraß}schen Theorie nur die elementaren Sätze über Potenzreihen benutzt worden waren, wird jetzt auch das \textit{Cauchy}sche Integral herangezogen, und es ergeben sich auf diese Weise nicht nur neue Beweise der früheren Theoreme, sondern auch, genau wie bei der \textit{Taylor}schen Reihe, Restglieder der Grenzausdrücke. 1. Es sei \(v= f(u|\alpha)\) eine umkehrbar eindeutige Transformation, die den Kreis \(|u|\langle R, R\rangle 1,\) in eine endliche, einfach zusammenhängende Fläche verwandelt; dabei mögen sich die Punkte \(u = 0\) und \(v = 0, u = 1\) und \(v = 1\) entsprechen, Außerdem sei \(f (u|1) = u.\) Zur Abkürzung werde \(h = (x - a) f (y |\alpha)\) gesetzt. Betrachtet man dann das Integral: \[ J = \frac 1{2\pi i} \int^{(S)} \frac {F (a + h)}{y - u} \left( \frac uy \right)^{n+1} dy, \] das in positivem Sinne über die Begrenzung \(S\) einer einfach zusammenhängenden Fläche erstreckt wird, auf der \(f (y|\alpha)\) und \(F(a + h)\) reguläre Funktionen von \(y\) sind, so ist: \[ J = F (a + (x-a) f(u|\alpha )) + \frac 1{2\pi i} \int^{(0)} \frac {F (a +h)}{y - u} \left( \frac uy \right)^{n+1} dy, \] wo das Integral im positiven Sinne um den Punkt \(y = 0\) zu nehmen ist. Wird \(F(a +h)\) nach Potenzen von \(h\) entwickelt, so liefern nur die ersten \(n + 1\) Glieder einen Beitrag zum Integral, weil nach Voraussetzung \(f(y|a):y\) für \(y=0\) endlich ist, und es ergibt sich nach einfachen Umformungen, wenn noch nachträglich \(u = 1\) gesetzt wird: \[ \begin{multlined} F(x) = F(a) + \sum_{\mu =1}^n\;\frac 1{\mu !} \left( \frac {D^{(\mu)} (f)}{1!}\;F^{(1)} (a) (x-a) \right. \\ \left. + \frac {D^{(\mu)} (f^2)}{2!}\;F^{(2)} (a) (x-a)^2 + \cdots +\frac {D^{(\mu)} (f^\mu)}{\mu !}\;F^{(\mu)} (a) (x-a)^\mu \right)\\ + \frac 1{2\pi i} \int^{(S)}\;\frac {F(a + h)}{y-1} \left( \frac 1y \right)^{n+1} dy; \end{multlined} \] hierin ist \[ …
Mathematics Subject Classification ID: 30B99
zbMATH DE Number: 2659959
zbMATH Keywords: Series expansions in star domains.
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q105475644
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02415502
OpenAlex ID: W4232724584
author: Gösta Mittag-Leffler
description: scientific article; zbMATH DE number 2659959