On the analytic representation of a single-valued branch of a monogenic function.
Während in den vorhergehenden drei Noten (F. d. M. 30, 364, 1899 und 31, 404, 1900, JFM 30.0364.05, JFM 31.0404.04) im Sinne der \textit{Weierstraß}schen Theorie nur die elementaren Sätze über Potenzreihen benutzt worden waren, wird jetzt auch das \textit{Cauchy}sche Integral herangezogen, und es ergeben sich auf diese Weise nicht nur neue Beweise der früheren Theoreme, sondern auch, genau wie bei der \textit{Taylor}schen Reihe, Restglieder der Grenzausdrücke. 1. Es sei \(v= f(u|\alpha)\) eine umkehrbar eindeutige Transformation, die den Kreis \(|u|\langle R, R\rangle 1,\) in eine endliche, einfach zusammenhängende Fläche verwandelt; dabei mögen sich die Punkte \(u = 0\) und \(v = 0, u = 1\) und \(v = 1\) entsprechen, Außerdem sei \(f (u|1) = u.\) Zur Abkürzung werde \(h = (x - a) f (y |\alpha)\) gesetzt. Betrachtet man dann das Integral: \[ J = \frac 1{2\pi i} \int^{(S)} \frac {F (a + h)}{y - u} \left( \frac uy \right)^{n+1} dy, \] das in positivem Sinne über die Begrenzung \(S\) einer einfach zusammenhängenden Fläche erstreckt wird, auf der \(f (y|\alpha)\) und \(F(a + h)\) reguläre Funktionen von \(y\) sind, so ist: \[ J = F (a + (x-a) f(u|\alpha )) + \frac 1{2\pi i} \int^{(0)} \frac {F (a +h)}{y - u} \left( \frac uy \right)^{n+1} dy, \] wo das Integral im positiven Sinne um den Punkt \(y = 0\) zu nehmen ist. Wird \(F(a +h)\) nach Potenzen von \(h\) entwickelt, so liefern nur die ersten \(n + 1\) Glieder einen Beitrag zum Integral, weil nach Voraussetzung \(f(y|a):y\) für \(y=0\) endlich ist, und es ergibt sich nach einfachen Umformungen, wenn noch nachträglich \(u = 1\) gesetzt wird: \[ \begin{multlined} F(x) = F(a) + \sum_{\mu =1}^n\;\frac 1{\mu !} \left( \frac {D^{(\mu)} (f)}{1!}\;F^{(1)} (a) (x-a) \right. \\ \left. + \frac {D^{(\mu)} (f^2)}{2!}\;F^{(2)} (a) (x-a)^2 + \cdots +\frac {D^{(\mu)} (f^\mu)}{\mu !}\;F^{(\mu)} (a) (x-a)^\mu \right)\\ + \frac 1{2\pi i} \int^{(S)}\;\frac {F(a + h)}{y-1} \left( \frac 1y \right)^{n+1} dy; \end{multlined} \] hierin ist \[ D^{(\mu)} (f^\nu ) = \lim_{y=0}\;\frac {\partial^\mu f(y| \alpha )^\mu }{\partial y^\mu } \] zu setzen. Als Begrenzung \(S\) kann im besonderen der Kreis \(y = r\) gewählt werden. Man erhält dann eine Formel, die für alle Punkte \(x\) gilt, die einem gewissen, im Innern des Sternes \(A^{(\alpha)}\) gelegenen Gebiete \(X\) angehören. Für \(\alpha = 1\) geht diese Formel in die \textit{Taylor}sche Entwicklung mit dem \textit{Cauchy}schen Restgliede über. Indem man die in der dritten Note über die erzeugende Funktion \(f (u | a)\) gemachten Bemerkungen hinzunimmt, gelangt man jetzt zu folgendem Ergebnis. Es sei \(A\) der Hauptstern mit dem Mittelpunkte \(a,\) der zu den der \textit{Cauchy}schen Bedingung genügenden Konstanten \[ F(a), F^{(1)}(a), \dots, F^{(\mu)} (a), \dots \] gehört. Es sei \(\alpha\) eine Konstante, die kleiner als 1 ist, und \(A^{(\alpha)}\) ein zu \(A\) konzentrischer und in \(A\) eingeschriebener Stern, der zu der erzeugenden Funktion \(f (u | \alpha )\) gehört. Man kann dann diese Funktion so wählen, daß\ für hinreichend kleines \(\alpha\) der Stern \(A^{(\alpha)}\) in seinem Innern jedes innerhalb \(A\) gelegene Gebiet einschließt und für \(\alpha = 1\) der Stern \(A^{(1)}\) der zu \(A\) konzentrische, \(A\) eingeschriebene Kreis wird, daß\ ferner der Grenzausdruck \[ (\text I) \quad F(a) + \lim_{n=\infty} \left[ \frac {\alpha_{1n} (\alpha)}{1!}\;F^{(1)}(a)(x- a) + \frac {\alpha_{2n} (\alpha)}{2!}\;F^{(2)} (a) (x-a)^2 + \cdots + \frac {\alpha_{nn} (\alpha)}{n!}\;F^{(n)} (a) (x-a)^n \right], \] in dem die \[ \alpha_{\mu n} (\alpha) \left\{\begin{matrix} \mu = 1, 2, \dots, n \\ n = 1, 2, \dots, \infty \end{matrix} \right\} \] positive Konstanten bedeuten, die nur von der Wahl der erzeugenden Funktion. abhängen, den Konvergenzstern \(A^{(\alpha)}\) besitzt und im Innern von \(A^{(\alpha)}\) überall die Funktion \(FA^{(\alpha)}(x)\) darstellt; das Gesagte bleibt richtig, wenn man zur Grenze für \(\alpha = 0\) übergeht, wobei sich der Stern \(A^{(\alpha)}\) in den Hauptstern \(A\) verwandelt. Macht man in (I) beim Übergang zur Grenze bei einem bestimmten Werte von \(n\) Halt, so gilt die Gleichung: \[ \begin{multlined} FA^{(a)} (x) = F(a) + \frac {\alpha_{1n} (\alpha)}{1!}\;F^{(1)} (a)(x - a) \\ + \frac {\alpha_{2n} (\alpha)}{2!}\;F^{(2)}(a) (x-a)^2 + \cdots + \frac {\alpha_{nn} (\alpha)}{n!}\;F^{(n)} (a)(x-a)^n \\ + \int^{(C)} \frac {F (a+h)}{y-1} \left( \frac 1y \right)^{n+1} dy, \end{multlined} \] wo das Integral in positivem Sinne zu nehmen ist und wo \(C\) einen Kreis mit dem Mittelpunkte Null und einem Halbmesser \(r\) \((1 < r < R)\) bezeichnet, sodaß\ \(a+h\) dem Innern des Sternes \(A\) angehört. Die Wahl der erzeugenden Funktion ist trotz der ihr auferlegten Bedingungen noch in hohem Maße willkürlich, und es entsteht die wichtige Frage, wie man sie zu wählen hat, damit die Konstanten \(\alpha_{\mu n} (\alpha) \) möglichst einfach ausfallen. Bei den von \textit{Mittag-Leffler} und \textit{Fredholm} angenommenen Formen von \(f(u|\alpha\)) ist diese Forderung nicht erfüllt, sie wird es jedoch, wenn man \[ f(u|\alpha) = \frac {\alpha}{\left( 1 - \frac uR \right)^\alpha },\quad \frac 1R = 1- \alpha^{\frac 1\alpha} \] setzt. Alsdann ergibt sich \[ \begin{multlined} \alpha_{\mu n} (\alpha) = \alpha^\mu \left[ 1 + \frac {\alpha}{1!} \left(1-\alpha^{\frac 1\alpha}\right) + \frac {\alpha (\alpha +1)}{2!} \left( 1 - \alpha^{\frac 1\alpha} \right)^2 + \cdots \right. \\ \left. + \frac {\alpha (\alpha + 1) \dots ( \alpha + n - \mu + 1)}{(n-\mu)!}\;\left(1 - \alpha^{\frac 1\alpha} \right)^{n-\mu} \right] . \end{multlined} \] 2. In dem Integral \(J\) darf man, ohne daß\ die Betrachtungen sich wesentlich ändern, statt des Faktors \[ \left( \frac uy \right)^{n+1} \] irgend einen anderen Faktor setzen, der nur die Eigenschaft hat, daß\ er für \(y = u\) gleich 1 wird, und daß\ \(y = 0\) sein einziger singulärer Punkt ist. Ein solcher Faktor wird durch den Ausdruck \[ e^{\omega \left( \frac uy -1 \right) } \] dargestellt, wo \(\omega\) eine positive Konstante bedeutet. Im folgenden wird zunächst \(f (u|\alpha) = u\) und \(u = 1\) angenommen. An die Stelle des Konvergenzkreises der \textit{Taylor}schen Reihe tritt dann ein ``\textit{Borel}scher Stern'', der aus dem Hauptsterne \(A\) so gewonnen wird: Man trage auf jedem von dem Mittelpunkte \(a\) ausgehenden Vektor \(l\) eine Länge \(x\) ab, die so beschaffen ist, daß\ der Kreis mit dem Durchmesser \(x\) ganz in \(A\) liegt. Die obere Grenze dieser Längen heiße \(\varrho\). Trägt man dann auf den Vektoren \(l\) von \(a\) aus immer die Längen \(\varrho\) ab, so bilden die Endpunkte die Begrenzung des \textit{Borel}schen Sternes \(A^{(1)}\) . Die drei Ausdrücke \[ \begin{aligned} & (\text{II}) \quad \begin{cases} \int_0^\infty e^{-\omega} {\mathfrak F} (a, \omega (x-a)) d\omega, \\ {\mathfrak F} (a, \omega (x-a)) = \sum_{\mu = 0}^\infty \frac {F^{(\mu)} (a)}{(\mu !)^2} \,(\omega (x -a ))^\mu, \end{cases}\\ & (\text{III}) \quad \begin{cases} \lim_{\omega = \infty} e^{-\omega} \sum_{\mu =0}^\infty \left[ F (a) + \frac 1{1!}\, F^{(1)} (a) (x-a) + \cdots \right. \\ \left. \qquad\qquad+ \frac 1{\mu!} F^{(\mu)} (a) (x-a)^\mu \right] \frac {\omega^{\mu + 1}}{(\mu + 1)!}, \end{cases} \\ & (\text{IV}) \quad \lim_{\omega = \infty} \sum_{\mu=0}^\infty \;\frac 1{(\mu!)^2} \int_0^\infty e^{-\omega} \omega^\mu d\omega \cdot F^{(\mu)} (a) (x-a)^\mu \end{aligned} \] haben, wie \textit{Phragmén} bewiesen hat, den \textit{Borel}schen Stern zum Konvergenzstern und stellen in seinem ganzen Innern die Funktion \(FA^{(1)}(x)\) dar. Die Formel (II) ist die berühmte Formel von \textit{Laplace-Abel,} deren Konvergenz in dem Sterne \(A^{(1)}\) \textit{Borel} bewiesen hat, von dem auch die Formel (III) herrührt; die Formel (IV) stammt von \textit{Mittag-Leffler} selbst. Macht man bei dem Grenzprozeßan einer bestimmten Stelle Halt, so gelten die Gleichungen: \[ \begin{aligned} FA^{(1)} (x) & = \int_0^\omega e^{-\omega} {\mathfrak F} (a_1 \omega (x-a)) d\omega + \frac 1{2\pi i} \int^{(\mathfrak C)} \frac {F (a+h)}{y-1}\;e^{\omega \left( \frac 1y -1 \right) } dy, \\ & = e^{-\omega} \sum_{\mu = 0}^\infty \left[F(a) + \frac 1{1!}\;F^{(1)} (a) (x-a) + \cdots \right.\\ & \left. + \frac 1{\mu !}\;F^{(\mu)} (a)(x-a)^\mu \right] \frac {\omega^{\mu + 1}}{(\mu + 1)!} + \frac 1{2 \pi i} \int^{(\mathfrak C)} \frac {F (a+h)}{y-1}\;e^{\omega \left( \frac 1y -1 \right)}\;dy, \\ & = \sum_{\mu = 0}^\infty\;\frac 1{(\mu!)^2} \int_0^\infty e^{- \omega} \omega^\mu d\omega \cdot F^{(\mu)} (a)(x-a)^\mu + \frac 1{2 \pi i} \int^{(\mathfrak C)}\;\frac {F (a+h)}{y-1}\;e^{\omega \left( \frac 1y -1 \right) } dy, \end{aligned} \] wo die Integrale an zweiter Stelle in positivem Sinne zu nehmen sind und \(\mathfrak C\) einen Kreis vom Halbmesser \(\frac 12 r\) \((r > 1) \) und dem Mittelpunkte \(\frac 12\) bezeichnet, der so beschaffen ist, daß\ \(h = a + (x - a) y\) dem Innern \(A^{(1)}\) angehört. Verallgemeinerungen ergeben sich, wenn die erzeugende Funktion \(f(u|\alpha)\) nicht gleich \(u\) gesetzt wird. Man kann sie auf unendlich viele Arten so wählen, daß\ die drei Grenzausdrücke: \[ (\text A ) \quad \begin{cases} \displaystyle\lim_{\omega = \infty} e^{-\omega} \sum_{\mu =0}^\infty \left[ F (a) + \frac {\alpha_{1\mu} (\alpha)}{1!}\;F^{(1)} (a) (x-a) + \cdots \right. \\ \left. \qquad\qquad +\displaystyle \frac {\alpha_{\mu \mu} (\alpha)}{\mu!}\;F^{(\mu)} (a) (x-a)^\mu \right] \frac {\omega^{\mu + 1}}{(\mu + 1)!}, \end{cases} \] wo die \[ \alpha_{\mu n } (\alpha) = \left\{ \begin{matrix} \mu = 1, 2, \dots, n\\ n = 1, 2, \dots, \infty \end{matrix} \right\} \] bestimmte positive Konstanten sind, die nur von der erzeugenden Funktion abhängen, \[ (\text B) \quad F(a)+ \lim_{\omega = \infty} \sum_{\nu = 0}^\infty\;\frac 1{\nu!}\;\int_0^\omega e^{-\omega} f_\nu ( \omega | \alpha) d\omega F^{(\nu)} (a) (x-a)^\nu, \] wo \[ f_\nu (\omega | \alpha ) = \sum_{\mu=0}^\infty\;\frac {D^{(\mu)} (f^\nu)}{(\mu!)^2}\;\omega^\mu \] ist, und \[ (\text C)\qquad\int_0^\infty e^{-\omega} {\mathfrak F} (x|f, \omega ) d \omega, \] wo \[ {\mathfrak F} (x| f, \omega) = F (a) + \frac {f_1 (\omega|\alpha)}{1!}\;F^{(1)} (a) (x-a) + \frac {f_2 (\omega|\alpha)}{2!}\;F^{(2)} (a) (x-a)^2 + \cdots \] ist, alle einen Konvergenzstern \(\mathfrak A^{(\alpha)}\) besitzen und in seinem ganzen Innern die Funktion \(F {\mathfrak A}^{(\alpha)}(x)\) darstellen. Dieser Stern geht aus dem Hauptsterne \(A\) folgendermaßen hervor. Ebenso wie \(A^{(\alpha)}\) bei der erzeugenden Funktion \(f (u|\alpha)\) entsteht, wenn \(u\) den Kreis mit dem Mittelpunkte \(a\) und dem Halbmesser 1 beschreibt, so soll \({\mathfrak A}^{(\alpha)}\) entstehen, wenn \(u\) den Kreis mit dem Mittelunkte 0 und dem Halbmesser 1 beschreibt. Dabei ist \(f (u|\alpha)\) so zu wählen, daß\ \({\mathfrak A}^{(\alpha)}\) bei hinreichend kleinem Werte von \(\alpha \) jedes im Innern von \(A\) enthaltene Gebiet in sich fäßt, und daß\ der Stern \({\mathfrak A}^{(\alpha)}\) für \(\alpha= 1\) in den \textit{Borel}schen Stern \(A^{(1)}\) übergeht. Das Gesagte bleibt wieder richtig, wenn man zur Grenze für \(\alpha = 0\) übergeht, wobei der Hauptstern \(A\) an die Stelle der Sterne \(\mathfrak A^{(\alpha)}\) tritt. Macht man in den Formeln \((A), (B)\) und \((C)\) bei dem Grenzübergange an einer bestimmten, endlichen Zahl Halt, so hat man, wenn \(\mathfrak C\) dieselbe Bedeutung besitzt, wie vorher, die Gleichungen: . \[ \begin{multlined} \frac 1{2\pi i} \int^{(\mathfrak C)} \frac {F(a+h)}{y-1}\;e^{\omega\left( \frac 1y -1\right)} dy = F {\mathfrak A}^{(\alpha)} (x) - e^{-\omega} \sum_{\mu =0}^\infty \biggl[ F (a) \\ \left. + \frac {\alpha_{1\mu} (\alpha)}{1!}\;F^{(1)} (a) (x-a) + \cdots + \frac {\alpha_{\mu \mu} (\alpha)}{\mu!}\;F^{(\mu)} (a) (x-a)^\mu\;\frac {\omega^{\mu +1} }{(\mu + 1)!} \right], \\ = F {\mathfrak A}^{(\alpha)} (x) - \int_0^\omega e^{-\omega} d\omega F(a)\\ - \sum_{\nu=1}^\infty\;\frac 1{\nu!} \int_0^\omega e^{-\omega} f_\nu (\omega | \alpha) d\omega \cdot F^{(\nu)} (a) (x-a)^\nu ),\end{multlined} \] \[ =F {\mathfrak A}^{(\alpha)} (x) - \int_0^\infty e^{-\omega} {\mathfrak F} ( x |f, \omega ) d\omega. \] Wie den Noten 2 und 3 ist auch dieser ein Verzeichnis der zahlreichen Abhandlungen beigegeben, die im Anschluß\ an die Untersuchungen \textit{Mittag-Leffler}s von anderen Forschern veröffentlicht worden sind.
scientific article; zbMATH DE number 2659959