Tipi di potenziali che, divisi per una funzione fissa, si possono far dipendere da due sole variabili.
Die Arbeit schließt sich eng an einen Aufsatz von \textit{Levi-Civita} über Potentiale, die nur von zwei Variabeln abhängen (F. d. M. 30, 697, 1899, JFM 30.0697.01), an und sucht die Potentiale zu bestimmen, die die Eigenschaft haben, daß\ die, mit einem geeigneten Faktor multipliziert, sich durch Funktionen von nur zwei Variabeln ausdrücken lassen. An die Spitze der Arbeit wird die etwas allgemeinere Aufgabe gestellt, die allgemeinste kontinuierliche Gruppe von Punkttransformationen zu ermitteln, durch die ein von drei Variabeln abhängiges Potential in ein andres, ebenfalls von drei Variabeln abhängiges Potential, multipliziert mit einer andern Funktion der Variabeln, übergeht. Es ergibt sich, daß\ nur die zehngliedrige konforme Gruppe von Punkttransformationen des gewöhnlichen Raumes diese Eigenschaft besitzt. Soll bei der Transformation ein Potential wieder in ein Potential übergehen ohne Hinzufügung eines Faktors, so gehört die Transformation zu der siebengliedrigen Gruppe der Ähnlichkeitstransformationen, wie schon \textit{Levi-Civita} in dem oben zitierten Aufsatz nachgewiesen hat. Ist \(u\) ein Potential, \(w\) eine gegebene Funktion, so wird auf die Gleichung, die sich für \(v = \frac uw\) aus \(\varDelta u = 0\) ergibt, eine der im ersten Abschnitt ermittelten infinitesimalen Transformationen angewandt und untersucht, wann \(v\) nach der Transformation nur von zwei Variabeln abhängt (binär ist). Die Funktion \(w\) ist übrigens nicht willkürlich gegeben, sondern für jede Transformation eine bestimmte. Ferner wird gezeigt, daß\ , wenn zwei in der allgemeinen konformen Gruppe enthaltene Gruppen äquivalent sind, dasselbe auch von den zu den betreffenden Gruppen gehörenden binären Potentialen gilt. Zur Bestimmung der möglichen Typen von Potentialen der verlangten Art hat man daher die verschiedenen Typen von konformen Gruppen zu klassifiziren. Das könnte durch Anwendung der \textit{Lie}schen Methode zur Bestimmung aller Untergruppen einer konrinuierlichen Gruppe geschehen; doch würde die Benutzung dieser allgemeinen Methode sehr mühsame Rechnungen erfordern. Einfacher gelangt der Verf. zum Ziele durch Benutzung einer Bemerkung von \textit{F. Klein} (Math. Ann. 5, 257; F. d. M. 4, 411, 1872, JFM 04.0411.02), nach der man die konforme Gruppe des gewöhnlichen Raumes durch stereographische Projektion derjenigen projektiven Gruppe einer Kugel \(Q_2\) des \textit{Euklid}ischen Raumes \(S_4\) von vier Dimensionen erhält, bei der \(Q_2\) in sich selbst übergeht. Die Untersuchung der Untergruppen dieser projektiven Gruppe führt zu dem Resultate, daß\ alle konformen Gruppen des gewöhnlichen Raumes, mit Ausnahme eines einzelnen Typus, der Ähnlichkeitsgruppe äquivalent sind. Da die zur Ähnlichkeitsgruppe gehörigen Potentiale, die nur von zwei Variabeln abhängen, von \textit{Levi-Civita} bestimmt sind, so ist nur die Betrachtung jenes Ausnahmefalles nötig. Dieser entspricht der infinitesimalen Transformation \(^{\star}\))[\(^*\))Die Formel für \(Xf\) enthält im Original (S. 31) einen Druckfehler, indem dort \(\theta\) and Stelle von \(\frac 1\theta\) steht.]: \[ Xf\equiv 2\left( x\;\frac{\partial f}{\partial y}-y\;\frac{\partial f}{\partial x}\right) +\frac{1}{\theta}\left[ 2zx\frac{\partial f}{\partial x}+2zy\;\frac{\partial f}{\partial y}+(1+z^2-x^2-y^2)\;\frac{\partial f}{\partial z} \right] =0, \] wobei \(\theta\) einen Parameter bezeichnet. Als die beiden Variabeln \(\sigma_1,\sigma_2\), durch die nach der Transformation \(\frac uw = v\) ausgedrückt wird, sind zwei unabhängige Lösungen von \(Xf = 0\) zu nehmen. Die Flächen \(\sigma_1\) bilden eine Schar von Ringflächen. Nimmt man als dritte Flächenschar \(\sigma_3\) die Kugeln, welche die Ringflächen senkrecht schneiden, so ergeben sich zwischen den rechtwinkligen Koordinaten und den neuen Variabeln die Beziehungen: \[ \text{(I)}\;\begin{cases} x=\frac{\cos\sigma_1}{1-\sin\sigma_1\sin\sigma_3}\, \cos (\sigma_2+\theta\sigma_3 ),\\ y=\frac{\cos\sigma_1}{1-\sin\sigma_1\sin\sigma_3}\, \sin (\sigma_2+\theta\sigma_3 ),\quad z=\frac{\sin\sigma_1\cos\sigma_3}{1-\sin\sigma_1\sin\sigma_3}. \end{cases} \] Für den Faktor \(w\) erhält man den Wert \((1 - \sin{} \sigma_1 \sin{} \sigma_3)^{\frac 12}\). Transformiert man endlich die Gleichung \(\varDelta u = \varDelta (vw) = 0\) auf die Variabeln \(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\) und beachtet, daß\ \(v\) von \(\sigma_3\) unabhängig ist, so ergibt sich das Resultat: ``Jede Lösung der Gleichung \[ \text{(II)}\quad \begin{cases} \sin 2\sigma_1\frac{\partial v}{\partial\sigma_1^2}+4\frac{\sin^2\sigma_1 +\theta^2\cos^2\sigma_1}{\sin 2\sigma_1}\;\frac{\partial^2v}{\partial \sigma^2_2} \\ \qquad\qquad +2\cos 2\sigma_1\frac{\partial v}{\partial\sigma_1}-\frac 34\sin 2\sigma_1v=0 \end{cases} \] liefert, mit dem Faktor \(\sqrt{1 -\sin{}\sigma_1 \sin{}\sigma_3}\) multipliziert, ein Raumpotential.'' Der Verf. bezeichnet ein solches Potential als \textit{loxodromisches,} da die Kurven \(\sigma_1 = \text{const},\;\sigma_2 = \text{const}\) loxodromische Linien der Ringflächen sind. Ist \(v\) von \(\sigma_2\) unabhängig, so gibt die Lösung von (II), mit demselben Faktor wie vorher multipliziert, ein symmetrisches loxodromisches Potential, und diesem kann man folgende Deutung geben: Verteilt man auf der \(z\)-Achse eine Masse mit der Dichtigkeit \(\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\), so induziert diese auf einer der Ringflächen \(\sigma_1\), diese als leitend angenommen und mit der Erde verbunden, eine elektrische Verteilung, deren Potential ein symmetrisches loxodromisches Potential ist. Die Frage, ob es noch andere Potentiale der verlangten Art gibt, die nicht einer kontinuierlichen Gruppe entsprechen, wird nicht erledigt.
scientific article; zbMATH DE number 2661091