Le operazioni distributive e le loro applicazioni all' analisi.
In diesem sehr interessanten Werke hat \textit{Pincherle} seine Untersuchungen und die von anderen über distributive Operationen zusammengefaßt. Nach einigen Vorbemerkungen über \(n\)-fache lineare Mannigfaltigkeiten (Kap. 1) werden die Grundeigenschaften der Operationen im allgemeinen und der distributiven Operationen insbesonere aufgestellt (Kap. 2), ferner die ``Wurzeln'' einer distributiven Operation untersucht (Kap. 3), worunter solche Funktionen verstanden werden, daß\ die Anwendung der betreffenden Operationen auf dieselben die Null ergibt. Ein besonderes Interesse bieten diejenigen distributiven Operationen dar, welche eine \(n\)-fache lineare Funktionenmannigfaltigkeit in sich selbst überführen, oder, wie man sagen kann, einen ``invarianten'' \(n\)-dimensionalen Funktionalraum \(S_n\) besitzen (Kap. 4); jede solche Operation \(A(w)\) läßt sich durch eine lineare Substitution: \[ A(\alpha_i) = a_{i1} \alpha_1 + a_{i2} \alpha_2 + \dots + a_{in} \alpha_n \qquad (i= 1,2, \dots, n) \] darstellen, wo \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \; n\) linear unabhängige, der invarianten Mannigfaltigkeit gehörige Funktionen sind. Die Gleichung: \[ f(t) = \left|\begin{matrix} \l\quad & \l\quad & \l \quad & \l\\ a_{11} -t & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} -t & \dots & a_{2n} \\ \hdotsfor4\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} -t \end{matrix}\right| =0 \] heißt die auf den Raum \(S_n\) bezügliche ``Fundamentalgleichung'' der Operation \(A\). Ist: \[ f(t) = (t-c_1)^{r_1} (t-c_2)^{r_2} \cdots (t-c_q)^{r_q}, \] so zerfällt \(S_n\) in die Summe von \(q\) in Bezug auf \(S_n\) invarianten Räumen \(S_{r_1}, S_{r_2}, \dots, S_{r_q}\). Es erweist sich als angemessen, als unseren Operationen zu unterwerfende Funktionen die (konvergierenden oder nicht) Potenzreihen anzunehmen (Kap. 5); ihre Gesamtheit bildet eine \(\infty\)-fache Mannigfaltigkeit \(S\). Man bezeichnet durch \(S^r\) die Mannigfaltigkeit der Potenzreihen, deren Konvergenzradius \(>r\) ist, folglich durch \(S^0\) diejenige der überhaupt konvergierenden, durch \(S^{\infty}\) diejenige der beständig konvergierenden Potenzreihen; \(1,x, x^2, \dots\) mag ein ``Fundamentalsystem'' von \(S\) heißen. Unter den auf die Elemente von \(S\) anwendbaren Operationen sind drei als fundamental zu betrachten, d. i. Multiplikation, Derivation und Substitution, welche folgendermaßen definiert werden: \[ M_{\mu} (\alpha (x)) = \mu(x) \cdot \alpha(x), \] \[ D \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n-1}, \quad S_r \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (\mu (x))^n; \] hier bedeutet \(\mu(x)\) ein gegebenes Element von \(S\), und das Produkt \(\mu(x) \cdot \alpha(x)\) soll nach der Regel der Multiplikation konvergenter Reihen ausgeführt werden. Aus \(D\) und ihren Potenzen erhält man distributive Operationen in unendlicher Anzahl (Kap. 6): \[ \text{(a)} \qquad A(\varphi) = \sum_{n=0}^{\infty}\;\frac{\alpha_n}{n!}\;D^n \varphi, \] wo \(\alpha_0, \alpha_1, \dots\) eine beliebige Folge von analytischen Funktionen ist, vorausgesetzt nur, daß\ Funktionen überhaupt existieren, für welche die rechte Seite von (a) einen Sinn hat. Der Inbegriff dieser Funktionen ist der ``Gültigkeitsbereich'' der Operation \(A\). Man kann weiter aus jeder solchen Operation \(A\) eine neue Operation: \[ A'(\varphi) =A(x \varphi) - xA(\varphi) = \sum_{n=1}^{\infty}\;\frac{\alpha_n}{(n-1)!}\;D^{n-1} \varphi \] erhalten, welche als die ``Derivierte'' von \(A(\varphi)\) bezeichnet werden kann; die höheren Derivierten werden analog definiert. Es ist: \[ (A+B)' = A' + B',\quad (AB)' = A'B + AB'; \] es ergibt sich ferner für die Operation (a): \[ \alpha_0 = A(1),\; \alpha_1=A'(1), \dots, \alpha_n =A^{(n)} (1), \dots, \] so daß\ die Formel (a) die Form: \[ A(\varphi) = \sum_{n=0}^{\infty}\;\frac{1}{n!}\;A^n (1) D^n \varphi \] annimmt, woraus erhellt, daß\ jede Operation, unter gewissen beschränkenden Umständen, in der Form (a) darstellbar ist. Die Derivierte von \(M\) ist die Null, die von \(D\) ist 1 (die identische Operation). Die Operation \(D^{-1}\) ist mehrdeutig; ihre ``Hauptbestimmung'' wird durch die Gleichungen: \[ D^{-1} (x^n) = \frac{x^{n+1}}{n+1} \qquad (n=0,1, \dots) \] definirt und kann der Formel (a) gemäß\ in eine Reihe entwickelt werden: \[ D^{-1} (\varphi) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\;\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\;D^n \varphi. \] Andererseits kann man eine Operation \(A(\varphi)\) nach Potenzen von \(D^{-1}\) entwickeln: \[ A(\varphi) = \sum_{n=0}^{\infty}\;\frac{\alpha_n}{n!}\;D^{-n} \varphi. \] Eine Operation \(A\) ist dann und nur dann mit \(D\) vertauschbar, wenn die Koeffizienten \(\alpha_n\) ihrer Reihenentwickelung (a) konstant sind (Kap. 7); für eine solche Operation bilden \(A(1), A(x), A(x^2), \dots\) ein System von ``\textit{Appell}schen Polynomen'', wodurch die aus einer Zahlenfolge \(a_0, a_1, a_2, \dots\) entstehenden Polynome: \[ \pi_n (x) = a_0 x^n + na_1 x^{n-1} + {n \choose 2} a_2 x^{n-2} + \dots + na_{n-1} x+ a_n \] bezeichnet werden. Als Anwendung ergibt sich die Integration der linearen homogenen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Eine wichtige Klasse von Operationen ist die der ``Normaloperationen'' (Kap. 8); eine Operation ist ``normal von der \(p\)-ten Ordnung'', wenn sie den Gleichungen: \[ A(x^n) =x^n (a_{n0} + a_{n1} x + \dots + a_{np} x^p) \qquad (n=0,1,2, \dots) \] genügt, wo die \(a_{hk}\) konstante Größen sind. Der bisher betrachtete Funktionalraum wird jetzt dadurch erweitert, daß\ man als solchen die Mannigfaltigkeit \(T\) aller \textit{Laurent}schen Reihen \(\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n x^n\) annimmt (Kap. 9). Sind: \[ \varphi= \sum_{n=- \infty}^{\infty} g_n x^n, \quad \psi= \sum_{n=- \infty}^{\infty} k_n x^n \] zwei Elemente von \(T\), und setzt man: \[ R(\varphi, \psi) = \sum_{n=- \infty}^{\infty} g_{-n} k_{n-1}, \] so heißt eine Operation \(\overline A\), welche der Gleichung: \[ R(A (\varphi), \psi) = R(\varphi, \overline{A} (\psi)) \] für jedes \(\varphi\) und \(\psi\) genügt, zu \(A\) ``adjungiert''. Es gibt zu einer gegebenen distributiven Operation \(A\) höchstens eine einzige adjungirte Operation \(\overline A\); sie ist distributiv und hat \(A\) als adjungierte Operation. Die zu \(AB\) adjungirte Operation ist \(\overline{B} \overline{A}\); die zu \(A'\) adjungirte Operation ist \(-\overline{A'}\). Es ist ferner \(\overline{M} =M\), \(\overline{D} =- D\). Auf diesen Grundlagen kann man die Theorie der linearen Differenzen- und Differentialgleichungen aufbauen (Kap. 10, 11, 12). Auch der in Gruppentheorie übliche Begriff der Transformation läßt sich auf die Operationentheorie übertragen (Kap. 13); die Operation \(XAX^{-1}\) kann die ``Transformirte'' der Operation \(A\) durch die Operation \(X\) heißen. Bezeichnet man als Funktion \(f(A)\) einer Operation \(A\) einen Ausdruck von der Form: \[ a_0 + a_1A + a_2 A^2 + \cdots, \] wo \(a_0, a_1, a_2, \dots\) Zahlengrößen darstellen, so ergibt sich, daß\ aus \(XAX^{-1} =B\) auch \(Xf(A) X^{-1} = f(B)\) folgt. Jede Operation \(X\), welche \(M_x\) (die Multiplikation mit \(x\)) in eine Operation \(A\) transformiert, heißt eine ``Transformierende'' von \(A\); ist \(X\) eine Transformierende von \(A\), so haben sämtliche Transformierenden von \(A\) die Form \(XM_{\mu}\), wo \(M_{\mu}\) die Multiplikation mit einer beliebigen Funktion \(\mu(x)\) selbstverständlich darstellt. Man kann nun den Funktionsbegriff verallgemeinern, indem man die Funktion \(\mu (A)\) einer Operation \(A\) durch die Relation: \[ XM_{\mu} X^{-1} = \mu (A) \] definiert, wo, \(X\) eine Transformierende von \(A\) ist. Diejenige Transformierende von \(D\), deren Adjungierte auch eine Transformierende von \(D\) ist, ist die wohlbekannte ``\textit{Laplace}sche Transformation'' \(L\). Ist \(s\) eine beliebige Zahlgröße, so ist: \[ E_s =LM_{x^s} L^{-1} \] die ``Derivation der \(s\)-ten Ordnung''. Eine Verallgemeinerung der linearen Differentialgleichungen bilden die ``linearen Substitutionsgleichungen'': \[ \alpha_0 + \alpha_1 S + \alpha_2 S^2 + \dots + \alpha_n S^n =0, \] wo \(\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\) Funktionen von \(x\) sind und \(S\) eine Substitution (siehe oben) bezeichnet (Kap.14, 15). Es lassen sich endlich einige geometrische Begriffe (Homographie, Kurven, kontinuierliche Gruppen u. s. w.) auf den Funktionalraum \(T\) anwenden (Kap. 16). Das Buch schließt mit 5 Noten, welche sich auf die Bibliographie der Operationentheorie, die Funktionalgleichung \(f(x+y) = f(x) + f(y)\), die Theorie der Elementarteiler, die auf mehrere Funktionen oder auf Funktionen mehrerer Variabeln wirkenden distributiven Operationen und die nicht distributiven Operationen beziehen.
scientific article; zbMATH DE number 2661881