On the exponential theorem for a simply transitive continuous group, and the calculation of the finite equations from the constants of structure.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the exponential theorem for a simply transitive continuous group, and the calculation of the finite equations from the constants of structure.
zbMATH Open document ID: 32.0159.01
author: H. F. Baker
published in: Proceedings of the London Mathematical Society
publication date: 1901-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://zenodo.org/record/2363806
review text: Sind \(r^3\) Konstanten \(c_{\sigma \varrho \tau}\) gegeben, welche den \textit{Lie}schen Relationen: \[ c_{\varrho \sigma \tau} + c_{\sigma \varrho \tau} =0, \] \[ \sum_{\tau =1}^{\tau =r} (c_{\beta \gamma \tau} c_{\tau \alpha \delta} + c_{\gamma \alpha \tau} c_{\tau \beta \delta} + c_{\alpha \beta \tau} c_{\tau \gamma \delta})=0 \] genügen, so bilde man sich eine Matrix \(E\) mit \(r\) Zeilen und \(r\) Kolonnen, deren Elemente \(E_{\varrho \sigma}\) definirt sind durch: \[ E_{\varrho \sigma} = \sum_{\tau =1}^{\tau =r} c_{\sigma \tau \varrho} e_{\tau} \begin{pmatrix} \varrho =1,2, \dots, r \\ \sigma =1,2, \dots, r \end{pmatrix} \,. \] Es sei: \[ \varDelta = 1+ \frac E1 + \frac{E^2}{2!} + \frac{E^3}{3!} + \cdots \] gesetzt. \(E', \varDelta'\) bezw. \(E'', \varDelta''\) mögen aus \(e_1', e_2', \dots, e_r'\) bezw. \(e^{\prime\prime}_1, e^{\prime\prime}_2, \dots, e^{\prime\prime}_r\) ebenso gebildet sein, wie es \(E\) und \(\varDelta\) aus \(e_1, e_2, \dots, e_r\) sind. Verf. beweist dann: Wenn (1) \(e^{\prime\prime}_{\sigma} =\varphi_{\sigma} (e,e')\) die endlichen Gleichungen der Paremetergruppe mit kanonischen Parametern und Variablen einer \(r\)-gliedrigen Gruppe der Zusammensetzung \(c_{\sigma \varrho \tau}\) sind, so besteht die Matrizenrelation: (2) \(\varDelta'' =\varDelta . \varDelta'\), welche \(r^2\) Gleichungen umfaßt. Das angegebene Theorem bezeichnet Verf. als Exponentialtheorem. Die in (2) vorkommenden Größen sind durch die Strukturkonstanten \(c_{\sigma \varrho \tau}\) der Gruppe bestimmt und erfordern nicht die Kenntnis von (1). Daher verwertet Verf. die \(r^2\) Gleichungen (2) seines Exponentialtheorems, von denen übrigens nur \(m \overset {=} < r\) unabhängig sind, wobei \(m\) die Gliederzahl der adjungirten Gruppen angibt, zur Bestimmung der endlichen Transformationen einer Gruppe gegebener Struktur; dabei stützt er sich darauf, daß\ die infinitesimalen Transformationen der kanonischen Parametergruppe durch \textit{F. Schur} gegeben sind. (Vgl. \tex…
Mathematics Subject Classification ID: 20B99
zbMATH DE Number: 2662139
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2040965241
DOI: 10.1112/PLMS/S1-34.1.91
description: scientific article; zbMATH DE number 2662139