Über \textit{Borels} Verallgemeinerung des Grenzbegriffes.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über \textit{Borels} Verallgemeinerung des Grenzbegriffes.
zbMATH Open document ID: 32.0253.01
DOI: 10.1007/BF01692130
author: L. Hanni
published in: Monatshefte für Mathematik und Physik
publication date: 1901-01-01T00:00:00Z
review text: Die Verwandlung einer Potenzreihe in eine unendliche Doppelreihe ist sehr geeignet, um jene in einen analytischen Ausdruck mit weiterem Geltungsbereiche zu transformieren. Dazu dient das von \textit{E. Lindelöf} (Acta soc. scient. Fennicae 24, 1899) benutzte Verfahren der konformen Abbildung oder auch die \textit{Euler}sche Transformation. Bei dieser setzt man \(x= t: (1+t)\), also \(t= x: (1-x)\); dadurch geht \[ f(x) = \sum_0^{\infty} {_\nu} a_{\nu} x^{\nu} \] über in \[ (1) \qquad f(x) = a_0 + a_1\;\frac{x}{1-x} + \varDelta a_1 \left( \frac{x}{1-x}\right)^2 + \cdots + \varDelta^{n-1} a_1 \left(\frac{x}{1-x} \right)^n + \dots, \] wo \[ \varDelta^r a_1 = a_{r+1} - \binom{r}{1} a_r + \binom{r}{2} a_{r-1} + \dots + (-1)^r a_1 \] ist. Dies kann auch durch die \textit{Markoff}sche Formel der partiellen Summation erreicht werden: \[ (2) \qquad \sum_\alpha^{\alpha+ n\delta} \varphi (\nu) \varDelta \psi (\nu) = \varphi (\alpha + n\delta) \psi (\alpha + n\delta) - \varphi (\alpha) \psi (\alpha) - \sum_\alpha^{\alpha+ n\delta} \psi (\nu + \delta) \varDelta \varphi (\nu), \] wo \(\varphi\) und \(\psi\) Funktionen von \(\nu\) sind und \(\varDelta \varphi (\nu) = \varphi (\nu + \delta) - \varphi (\nu)\) ist. Setzt man jetzt \(\delta =1\) und \(\psi (\nu) = x^{\nu} : (x-1)\), so ist \(\varDelta \psi (\nu) = x^{\nu}\); dadurch geht die letzte Gleichung über in \[ \sum_\alpha^{\alpha+ n}{_\nu} x^{\nu} \varphi (\nu) = \frac{x^{a+n} \varphi (\alpha +n) - x^a \varphi (\alpha)}{x-1} - \frac{x}{x-1} \sum_\alpha^{\alpha+n}{_n} x^{\nu} \varDelta \varphi (\nu). \] Setzt man ferner \(\alpha =1\), \(\varphi(\nu) = a_{\nu}\) und wendet diese Formel der Reihe nach auf \(\sum_1^n{_\nu} a_{\nu} x^{\nu}\), \(\sum_1^n{_\nu} \varDelta a_{\nu},\dots, \sum_1^n{_\nu} x^{\nu} \varDelta^{m-1} a_{\nu}\) an, so erhält man: \[ \begin{multlined} (3) \qquad \sum_1^n{_\nu} a_{\nu} x^{\nu} = \sum_1^m{_\nu} \left( \frac{1}{1-x} \right)^{\nu} \varDelta^{\nu -1} a_1 \\ + \left( \frac{x}{1-x} \right)^m \sum_1^n{…
zbMATH DE Number: 2662465
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01692130
OpenAlex ID: W2026619564
description: scientific article; zbMATH DE number 2662465