Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten.
zbMATH Open document ID: 32.0272.02
author: C. Runge
published in: (Schlömilch's) Zeitschrift für Mathematik und Physik
publication date: 1901-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://resolver.library.cornell.edu/math/2143852
review text: Man kann durch eine Tabelle eine Funktion wohl definieren, wenn man zugleich ein Interpolationsverfahren vorschreibt. Erstes Verfahren. Es seien die Werte der Funktion von \(x\) für die Werte \(x= 0, h, 2h, \dots\) gegeben. Man bilde dann eine ganze Funktion ersten Grades \(g_1(x)\), die für \(x=0\) und \(x=h\) die gegebenen Werte annimmt, eine ganze Funktion zweiten Grades \(g_2(x)\), die für \(x= 0,h, 2h, \dots,\) eine ganze Funktion \(n\)-ten Grades \(g_n(x)\), die für \(x= 0,h,2h, \dots, nh\) die gegebenen Werte annitmmt. Soweit die Konvergenz von \(\lim g_n(x)\) reicht, läßt sich die Funktion durch \(g_n(x)\) definieren. Zweites Verfahren. Die Werte der Funktion seien für \[ x=0, \pm h, \pm 2h, \dots \] gegeben. Man bilde eine ganze Funktion ersten Grades \(G_1(x)\), welche für \(x=0,\; h\) die vorgeschriebenen Werte annimmt, eine ganze Funktion zweiten Grades \(G_2(x)\), die für \(x=-h, 0, +h, \dots\), eine ganze Funktion \((2n-1)\)-ten Grades, die für \[ x=- (n-1)h, \; -(n-2)h, \; \dots, \; 0, \; h, \dots, nh, \] eine ganze Funktion \((2n)\)-ten Grades \(G_{2n} (x)\), die für \[ x=- nh, \; \dots,\; 0, \dots,\; nh \] die vorgeschriebenen Werte annimmt. So weit die Konvergenz von \(G_{\lambda}(x)\) reicht, ist die Funktion durch \(G_{\lambda}(x)\) zu definieren. 1. Die für \(x=0,h,2h, \dots\) vorgeschriebenen Werte seien \(1, e^h, e^{2h}, \dots;\) dann ist, wenn \(e^h -1 =u,\; x/h=v\) gesetzt wird, \[ g_n(x) = 1+ uv + u^2v (v-1)/2! + \cdots + u^n v(v-1) \cdots (v-n+1)/n!, \] oder \(g_n(x)\) ist gleich der Summe der \((n+1)\) ersten Glieder der binomischen Reihe für \((1+u)^v\). Für Werte von \(x\), die nicht in der Tabelle vorkommen, ist \(v\) nicht gleich einer ganzen positiven Zahl, damit die sich dann für \((1+u)^v\) ergebende unendliche Reihe konvergiert, muß\ \(h\) entweder negativ oder nicht größer als \(l2\) sein. 2. Die für \(x=0,\; \pm h,\; \pm 2h,\; \dots\) vorgeschriebenen Werte seien \(1,e^{\pm h}, e^{\pm 2h}, \dots\); wird \(\frac xh =v\) gesetzt, …
Mathematics Subject Classification ID: 32E30
Mathematics Subject Classification ID: 30E05
Mathematics Subject Classification ID: 41A05
zbMATH DE Number: 2662492
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2662492