A geometrical theory of differential equations of the first and second orders.
type: Item
instance of: scholarly article
title: A geometrical theory of differential equations of the first and second orders.
zbMATH Open document ID: 32.0338.04
author: R. W. H. T. Hudson
published in: Proceedings of the London Mathematical Society
publication date: 1901-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://zenodo.org/record/2028353
review text: Zweck dieser Arbeit ist die Auffindung der Bedingungen dafür, daß\ eine algebraische Differentialgleichung zweiter Ordnung singuläre Lösungen habe. Die Variablen werden als reell betrachtet, so daß\ die geometrische Terminologie durchgängig Anwendung findet. Da die singulären Lösungen, wenn sie existieren, einer Differentialgleichung erster Ordnung genügen, so geht eine Untersuchung dieser Gleichungen voran. Die geometrische Methode, die der Verf. dabei anwendet, besteht darin, die Differentialgleichung \(f(x,y,y') =0\) durch die beiden Gleichungen \(f(x,y,z)=0\), \(dy-zdx=0\) zu ersetzen. Einer Integralkurve, \(\alpha(x,y) =0\) entspricht dann eine auf der Fläche \(f=0\) liegende Raumkurve, deren Projektion auf die \(xy\)-Ebene \(\alpha =0\) ist. Insbesondere beschäftigt sich der Verf. mit der Ermittelung der Bedingungen dafür, daß\ eine singuläre Lösung der Gleichung eine oskulierende Enveloppe darstelle. Es wird angegeben, daß\ es hierzu im allgemeinen hinreichend ist, daß\ für jeden Punkt der Lösung \[ \frac{\partial f}{\partial y} =0,\quad \frac{\partial f}{\partial y'} =0,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial y'}=0,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y'^2} =0 \] ist. Wenn aber noch (S. 394) hinzugefügt wird, daß, falls außerdem \(\frac{\partial^3 f}{\partial y'^3} =0\), die Enveloppe nicht oskulierend sein kann, so ist das ein Irrtum, wie das Beispiel \(y'^4 = y^3\) zeigt, dessen allgemeines Integral \(y= \left( \frac{x-c}{4} \right)^4\) ist. Für die durch dasselbe dargestellte Kurvenschar bildet offenbar die singuläre Lösung \(y=0\) die \textit{oskulierende} Enveloppe. Zur Untersuchung der Differentialgleichung zweiter Ordnung \[ F(x,y,y',y'')=0, \] wo \(F\) ein Polynom vom \(n\)-ten Grade in \(y''\) bedeutet, werden die durch die Gleichungen \(dx= \frac{dy}{z} = \frac{dz}{w}\) definierten Raumkurven (\(\gamma\)-Kurven genannt) betrachtet, worin \(w\) durch die Gleichung \(F(x,y,z,w)=0\) gegeben ist. Durch jeden Punkt \((x,y,z)\) gehen \(n\) \(n \gamma\…
zbMATH DE Number: 2662644
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2013628463
DOI: 10.1112/PLMS/S1-33.1.380
description: scientific article; zbMATH DE number 2662644