Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale est uniforme.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale est uniforme.
zbMATH Open document ID: 32.0340.01
DOI: 10.1007/BF02419020
author: P. Painlevé
published in: Acta Mathematica
publication date: 1901-01-01T00:00:00Z
review text: Die Differentialgleichungen, deren allgemeines Integral eindeutig ist, bilden einen besonderen Fall derjenigen, die nur feste Verzweigungspunkte besitzen. Das Problem, diese Differentialgleichungen zu bestimmen, ist bekanntlich für diejenigen erster Ordnung durch \textit{Fuchs} gelöst worden. Der Verf., der sich diese Frage für Differentialgleichungen höherer Ordnung gestellt hat, gibt in vorliegender Arbeit eine Übersicht der von ihm bisher gefundenen Resultate ohne Angabe der zu ihnen führenden Methoden und Beweise, deren Entwicklung den Gegenstand einer Reihe demnächst erscheinender Abhandlungen bilden wird. Zunächst werden alle Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit festen Verzweigungspunkten von der Form (1) \(y'' = R(y',y, x)\) bestimmt, wo \(R\) rational in \(y'\), algebraisch in \(y\), analytisch in \(x\) ist. Unter diesen gibt es drei Typen von Differentialgleichungen, deren allgemeines Integral eindeutig ist. Dieses Integral ist meromorph in der ganzen Ebene und durch den Quotienten zweier ganzen Funktionen darstellbar. Die erwähnten Typen von Differentialgleichungen bieten, wie der Verf. hervorhebt, das erste bekannte Beispiel von Gleichungen, die mit Hülfe der Prinzipien der Funktionentheorie sich integrieren lassen, ohne daß\ man sie auf eine Kombination der linearen Differentialgleichungen, Quadraturen oder Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen kann, und somit erhält man in den Integralen derselben wesentlich neue eindeutige Transzendenten. Für eine besondere Klasse, die zu diesen Typen gehört: \[ y'' = 6y^2 +x, \] wird noch eine Reihe von Eigenschaften angeführt, von denen wir die hervorheben, daß\ die Gleichung \(y(x) = A\), wo \(y\) ein partikulares Integral bedeutet, unendlich viele Wurzeln hat. Mit Hülfe der vollständigen Tafel der sogenannten ``kanonischen'' Gleichungen mit festen Verzweigungspunkten kann auch erkannt werden, ob eine \textit{gegebene} Gleichung der Form (1) nur feste Verzweigungspunkte besitzt, und zwar geschie…
zbMATH DE Number: 2662645
MaRDI profile type: Publication
cites work: Nonparametric Entropy-Based Tests of Independence Between Stochastic Processes
description: scientific article; zbMATH DE number 2662645