Proof of the third fundamental theorem in \textit{Lie's} theory of continuous groups.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Proof of the third fundamental theorem in \textit{Lie's} theory of continuous groups.
zbMATH Open document ID: 32.0377.01
author: J. C. Campbell
published in: Proceedings of the London Mathematical Society
publication date: 1901-01-01T00:00:00Z
review text: Der Verf. denkt sich ein System von \(r^3\) Konstanten \(c_{i \kappa s}\) gegeben, das den bekannten \textit{Lie}schen Bedingungen \(c_{i\kappa s} + c_{\kappa is}\) und \[ \sum_{\nu} (c_{i\kappa \nu} c_{\nu js} + c_{\kappa j\nu} c_{\nu is} + c_{ji\nu} c_{\nu \kappa s} )=0 \] genügt, und will den \textit{Lie}schen Satz beweisen, daß\ es dann immer \(r\)-gliedrige Gruppen von der Zusammensetzung \(c_{i \kappa s}\) gibt. Er nimmt an, daß\ in der \(r^2\)-reihigen Matrix \[ | c_{1i \kappa} c_{2i \kappa} \dots c_{ri \kappa} | \qquad (i, \kappa = 1, \dots, r) \] alle \((n+1)\)-reihigen, nicht aber alle \(n\)-reihigen Determinanten verschwinden, so daß\ also die gesuchte Gruppe \(r-n\) unabhängige ausgezeichnete infinitesimale Transformationen enthalten muß. Er zeigt, daß\ man ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen kann, daß\ alle \(c_{i\kappa s}\), in denen wenigstens eine der beiden Zahlen \(i, \kappa\) größer als \(n\) ist, verschwinden. Die neue Matrix hat wieder den Rang \(n\); der Verf. nimmt aber als selbstverständlich an, daß\ auch die verkürzte Matrix mit \(n^2\) Reihen: \[ | c_{1i \kappa} \dots c_{ni \kappa} | \qquad (i, \kappa = 1, \dots, n) \] den Rang \(n\) besitze, und das braucht keineswegs der Fall zu sein, wie schon der Fall der dreigliedrigen Gruppe \(p, q, xq\) beweist. Da nun der ganze folgende Beweis gerade auf dieser Annahme beruht, so ist er nicht allgemein gültig, sondern nur für solche Zusammensetzungen \(r\)-gliedriger Gruppen, bei denen man, wenn in den Gleichungen \[ (X_i X_{\kappa}) = \sum c_{i\kappa s} X_s f \] alle ausgezeichneten infinitesimalen Transformationen gleich Null gesetzt werden, die Zusammensetzung einer Gruppe ohne ausgezeichnete infinitesimale Transformationen erhält. Das Verfahren des Verf. (er konstruiert zuerst mit Hülfe der adjungierten Gruppe eine \(n\)-gliedrige einfache transitive Gruppe von der Zusammensetzung \(c_{i\kappa s}\) \((i, \kappa, s = 1, \dots, n)\) und dann durch Integration eine \(r\)-gliedrige Gruppe) …
zbMATH DE Number: 2662717
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s1-33.1.285
OpenAlex ID: W2012390660
DOI: 10.1112/PLMS/S1-33.1.285
description: scientific article; zbMATH DE number 2662717