A criterion to recognise the singular points of a uniform branch of a monogenic function
Wenn man die erzeugende Funktion \[ (1) \quad f(u| \alpha) = e^U, \text{ wo } U= \int_0^u \left[ \left( \frac{1+u}{1-u} \right)^{1-a} -1 \right] \frac{du}{u} \quad (0< \alpha \leqq 1), \] zu Grunde legt, so ergibt sich (vergl. F. d. M. 31, 408, 1900, JFM 31.0404.04) für \(FA(x)\) die Darstellung: \[ FA(x) = \lim_{a=0} \left\{ F(a) + \sum_{\nu =1}^\infty G_\alpha^{(\nu)} (x-a) \right\}, \] \[ \begin{multlined} G_a^{(\nu)} (x-a) = \frac{r^{\nu -1} h_{\nu -1}^{(1)} (\beta)}{1! (\nu -1)!}\;F^{(1)} (a) \frac{x-a}{H} \\ + \frac{r^{\nu -2} h_{\nu -2}^{(2)} (\beta)}{2! (\nu -2)!} F^{(2)} (a) \left( \frac{x-a}{H} \right)^2 + \cdots \\ \cdots + \frac{rh_1^{(\nu -1)}(\beta)}{(\nu -1)! 1!}\;F^{(\nu -1)} (a) \left( \frac{x-a}{H} \right)^{\nu -1} + \frac{1}{\nu !}\;F^{(\nu)} (a) \left( \frac{x-a}{H} \right)^\nu, \end{multlined} \] worin \(\beta =1 - \alpha\) und \[ H= e^{U_1} \text{ mit } U_1 = \int_0^r \left[ \left( \frac{1+u}{1-u} \right)^{1- a} -1 \right] \frac{du}{u} \] ist, während \(r\) einen solchen positiven echten Bruch bedeutet, daß\ \(\lim_{a=0} r=1\) wird, und die Polynome \(h_{\nu - \mu}^{(\mu)} (\beta)\) von \(\beta\) durch die Gleichung \[ e^{mU} = 1+ \frac{h_1^{(m)} (\beta)}{1!} u+\frac{h_2^{(m)} (\beta)}{2!} u^2+ \cdots \] [vgl. (1) definiert werden. Der so erhaltene Ausdruck konvergiert innerhalb, divergiert außerhalb des Sternes \(A\), dessen Ecken singuläre Punkte des Zweiges \(FA(x)\) sind. Für die Bestimmung dieser Ecken und damit der singulären Punkte von \(FA(x)\) gilt alsdann folgendes Theorem. Es seien \(\varepsilon\) und \(s\) zwei positive echte Brüche. Damit der Punkt \(x\) eine Ecke des Sternes \(A\) sei, ist notwendig und hinreichend, daß\ der absolute Betrag von \[ \begin{multlined} \frac{r^{\nu -1} h_{\nu -1}^{(1)} (\beta)}{1! (\nu -1)!}\;F^{(1)} (a)\;\frac{x-a}{H} + \frac{r^{\nu -2} h_{\nu -2}^{(2)} (\beta)}{2! (\nu -2)!}\;F^{(2)} (a) \left( \frac{x-a}{H} \right)^2 + \\ \cdots + \frac{rh_1^{(\nu -1)} (\beta)}{(\nu -1)! 1!}\;F^{(\nu -1)} (a) \left( \frac{x-a}{H} \right)^{\nu -1} + \frac{1}{\nu !}\;F^{(\nu)} (a) \left( \frac{x-a}{H} \right)^\nu \end{multlined} \] für unendlich viele Werte von \(\nu\) kleiner als \((1- \varepsilon)^\nu\) sei, unabhängig von \(\alpha\) und wie klein man auch \(\varepsilon\) nehme, während der absolute Betrag von \[ \begin{multlined} \frac{r^{\nu -1} h_{\nu -1}^{(1)} (\beta)}{1! (\nu -1)!}\;F^{(1)} (a) \frac{(x-a) (1-s)}{H} + \frac{r^{\nu -2} h_{\nu -2}^{(2)} (\beta)}{2! (\nu -2)!}\;F^{(2)} (a) \left[ \frac{(x-a) (1-s)}{H} \right]^2 + \cdots \\ + \frac{rh_1^{(\nu -1)} (\beta)}{(\nu -1)! 1!}\;F^{(\nu -1)} (a) \left[ \frac{(x-a) (1-s)}{H} \right]^{\nu -1} + \frac{1}{\nu !}\;F^{(\nu)} (a) \left[ \frac{(x-a) (1-s)}{H} \right]^\nu \end{multlined} \] stets kleiner als \((1-\varepsilon)^\nu\) wird, wenn man zuerst \(\alpha\) und dann \(\varepsilon\) hinhinreichend klein wählt und \(\nu\) hinreichend groß\ annimmt. Ein ähnliches Theorem gilt, wenn man nach dem Vorgange von \textit{Fredholm} (vergl. S. 400 dieses Bandes, siehe JFM 32.0400.01) als erzeugende Funktion \[ f(u| a) = \frac{\log [1- (1- \alpha) u]}{\log \alpha} \] wählt.
scientific article; zbMATH DE number 2662770