A criterion to recognise the singular points of a uniform branch of a monogenic function
type: Item
instance of: scholarly article
title: A criterion to recognise the singular points of a uniform branch of a monogenic function
zbMATH Open document ID: 32.0402.01
published in: Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences, Paris
publication date: 1902-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: bpt6k3089k.f357
review text: Wenn man die erzeugende Funktion \[ (1) \quad f(u| \alpha) = e^U, \text{ wo } U= \int_0^u \left[ \left( \frac{1+u}{1-u} \right)^{1-a} -1 \right] \frac{du}{u} \quad (0< \alpha \leqq 1), \] zu Grunde legt, so ergibt sich (vergl. F. d. M. 31, 408, 1900, JFM 31.0404.04) für \(FA(x)\) die Darstellung: \[ FA(x) = \lim_{a=0} \left\{ F(a) + \sum_{\nu =1}^\infty G_\alpha^{(\nu)} (x-a) \right\}, \] \[ \begin{multlined} G_a^{(\nu)} (x-a) = \frac{r^{\nu -1} h_{\nu -1}^{(1)} (\beta)}{1! (\nu -1)!}\;F^{(1)} (a) \frac{x-a}{H} \\ + \frac{r^{\nu -2} h_{\nu -2}^{(2)} (\beta)}{2! (\nu -2)!} F^{(2)} (a) \left( \frac{x-a}{H} \right)^2 + \cdots \\ \cdots + \frac{rh_1^{(\nu -1)}(\beta)}{(\nu -1)! 1!}\;F^{(\nu -1)} (a) \left( \frac{x-a}{H} \right)^{\nu -1} + \frac{1}{\nu !}\;F^{(\nu)} (a) \left( \frac{x-a}{H} \right)^\nu, \end{multlined} \] worin \(\beta =1 - \alpha\) und \[ H= e^{U_1} \text{ mit } U_1 = \int_0^r \left[ \left( \frac{1+u}{1-u} \right)^{1- a} -1 \right] \frac{du}{u} \] ist, während \(r\) einen solchen positiven echten Bruch bedeutet, daß\ \(\lim_{a=0} r=1\) wird, und die Polynome \(h_{\nu - \mu}^{(\mu)} (\beta)\) von \(\beta\) durch die Gleichung \[ e^{mU} = 1+ \frac{h_1^{(m)} (\beta)}{1!} u+\frac{h_2^{(m)} (\beta)}{2!} u^2+ \cdots \] [vgl. (1) definiert werden. Der so erhaltene Ausdruck konvergiert innerhalb, divergiert außerhalb des Sternes \(A\), dessen Ecken singuläre Punkte des Zweiges \(FA(x)\) sind. Für die Bestimmung dieser Ecken und damit der singulären Punkte von \(FA(x)\) gilt alsdann folgendes Theorem. Es seien \(\varepsilon\) und \(s\) zwei positive echte Brüche. Damit der Punkt \(x\) eine Ecke des Sternes \(A\) sei, ist notwendig und hinreichend, daß\ der absolute Betrag von \[ \begin{multlined} \frac{r^{\nu -1} h_{\nu -1}^{(1)} (\beta)}{1! (\nu -1)!}\;F^{(1)} (a)\;\frac{x-a}{H} + \frac{r^{\nu -2} h_{\nu -2}^{(2)} (\beta)}{2! (\nu -2)!}\;F^{(2)} (a) \left( \frac{x-a}{H} \right)^2 + \\ \cdots + \frac{rh_1^{(\nu -1)} (\beta)}{(\nu -1)! 1!}\;F^{(\nu -1)} (a) \left…
Mathematics Subject Classification ID: 30B40
zbMATH DE Number: 2662770
zbMATH Keywords: Mittag-Leffler method
zbMATH Keywords: principal star region
zbMATH Keywords: analytic continuation
zbMATH Keywords: singularities
MaRDI profile type: Publication
author: Gösta Mittag-Leffler
description: scientific article; zbMATH DE number 2662770