Lectures on the theory of automorphic functions. Volume 2 The function theory and applications. First installment: The theory of automorphic functions proper
type: Item
instance of: scholarly article
title: Lectures on the theory of automorphic functions. Volume 2 The function theory and applications. First installment: The theory of automorphic functions proper
zbMATH Open document ID: 32.0430.01
author: R. Fricke
author: Felix Klein
publication date: 1912-01-01T00:00:00Z
review text: Der erste Band des Werkes (F. d. M. 28, 334, 1897, JFM 28.0334.01) begründete die Theorie der automorphen Funktionen. Nunmehr wird das Einzelne ausgeführt. Im ersten der vier Kapitel des vorliegenden ersten Abschnittes handelt es sich um die Existenz- und Eindeutigkeitstheoreme der automorphen Funktionen, andererseits um die Festlegung der inversen Funktionen, der ``polymorphen'', und deren Differentialgleichungen. Vorgelegt sei eine eigentlich diskontinuierliche Polygongruppe \(\varGamma\) linearer Substitutionen einer komplexen Variable \(\zeta\). Eine (linear) ``automorphe'' Funktion \(z= \varphi (\zeta)\) bleibt gegenüber irgend einer Substitution \(V_\kappa\) von \(\varGamma\) ungeändert; die inverse oder (linear) ``polymorphe'' Funktion \(\zeta = f(z)\) transformiert sich bei geschlossenen Umfläufen von \(z\) linear: \(\zeta'= \frac{\alpha \zeta + \delta}{\gamma \zeta + \delta}\). Sei \(N\) ein ``Netz'' von Polygonen \(P_0, P_1, \dots\) von \(\varGamma\), so besteht \(\varGamma\) aus den Substitutionen \(V_0, V_1, \dots\), die den ``Fundamentalbereich'' \(P_0\) in \(P_0, P_1, \dots\) überführen. Hierbei wird vorausgesetzt, daß\ also \(P_0\) aus endlich vielen Seiten (Kreisbogen) besteht. \(P_0\) besitze \(n\) ``Cyklen'' ``fester'' Ecken, und \(p\) sei das Geschlecht der aus \(P_0\) durch Zusammenbiegung entsprechender Randkurven hervorgehenden geschlossenen Fläche \(F\), man sagt, daß\ \(P_0\) und \(\varGamma\) hierdurch den ``Charakter'' \((p, n)\) erhalten. Die Existenz der automorphen Funktionen \(\varphi\) wird auf die \textit{Riemann}schen Existenztheoreme gegründet, mit Benutzung der Beweismethoden von \textit{H. A. Schwarz} und \textit{C. Neumann}. Für \(\zeta = \xi + i\eta\) wird zunächst ein automorphes Potential \(u(\xi, \eta)\) konstruiert, sodann das zu \(u\) konjugierte Potential \(v(\xi, \eta) = \int \left( \frac{\partial u}{\partial \xi} d\eta - \frac{\partial u}{\partial \eta} d\xi \right)\) (bei geeigneter Integrationsbahn). Solche Ausdrücke \…
Mathematics Subject Classification ID: 30F35
Mathematics Subject Classification ID: 30F40
zbMATH DE Number: 2662816
zbMATH Keywords: Fuchsian groups
zbMATH Keywords: Kleinian groups
zbMATH Keywords: fundamental domains
zbMATH Keywords: existence theorems
zbMATH Keywords: Riemann surfaces
zbMATH Keywords: Schwarz derivative
zbMATH Keywords: prime forms
zbMATH Keywords: Poincaré series
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2662816