Problems relating to the impact of waves on a spherical obstacle in an elastic medium.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Problems relating to the impact of waves on a spherical obstacle in an elastic medium.
zbMATH Open document ID: 31.0783.01
author: H. Lamb
published in: Proceedings of the London Mathematical Society
publication date: 1900-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://zenodo.org/record/1808165
review text: Ganz ähnliche Untersuchungen, wie sie der Verf. betreffs der Störung von Luftwellen durch ein kugelförmiges Hindernis durchgeführt hatte (vergl. das vorhergehende Referat, siehe JFM 31.0782.01), stellt er hier für Wellen an, die sich in einem incompressiblen elastischen Medium fortpflanzen. Für die drei Componenten der Verrückungen gelten, wenn man ausser den elastischen Kräften noch einen Druck \(p\) einführt, die Gleichungen \[ \frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\varDelta_2u + \frac1{\varrho}\frac{\partial p}{\partial x}, \] \[ .\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad. \] wobei \[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0\text{ und daher }\varDelta_2p = 0 \] ist. Zunächst wird die Bewegung betrachtet, die durch eine äussere Störung hervorgerufen und daher überall im Innern endlich ist. Für eine solche hat, auf Polarcoordinaten bezogen, \(p\) die Form: \[ p = -\mu k^2e^{ikct} \Sigma r^nS_n. \] Setzt man ferner \[ u = e^{ikct}\Sigma u_n,\quad v = e^{ikct}\Sigma v_n,\quad w = e^{ikct}\Sigma w_n, \] so enthalten die Ausdrücke für \(u_n\), \(v_n\), \(w_n\) neben der in \(p\) auftretenden Kugelfunction \(S_n\) noch zwei andere Kugelfunctionen \(T_n\), \(U_n\) derselben Ordnung, aber mit anderen Constanten, sowie Bessel'sche Functionen erster Art mit dem Argumente \(kr\) und dem Index \(\frac12(2n + 1)\). Für den Fall ebener Wellen wird \(S_n = 0\), und die in \(T_n\), \(U_n\) enthaltenen, im allgemeinen willkürlichen Constanten sind völlig bestimmt. Handelt es sich nicht um eine äussere Störung, sondern um Wellen, die sich nach aussen hin verbreiten, so hat \(p\) die Form \[ p = -\mu k^2e^{ikct} \Sigma \frac{S_n'}{r^{n+1}}, \] und falls man \[ u = e^{ikct}\Sigma u_n',\dots \] setzt, enthalten \(u_n'\), \(v_n'\), \(w_n'\) neben den Kugelfunctionen \(S_n'\), \(T_n'\), \(W_n'\) auch Bessel'sche Functionen zweiter Art. (Dass die in Rede stehenden Functionen Bessel'sche Functionen sind, erwähnt Verf. weder in…
zbMATH DE Number: 2666741
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2088093897
DOI: 10.1112/PLMS/S1-32.1.120
description: scientific article; zbMATH DE number 2666741