On the residues of the sums of products of the first \(p 1\) numbers, and their powers, to modulus \(p^2\) or \(p^3\).
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the residues of the sums of products of the first \(p 1\) numbers, and their powers, to modulus \(p^2\) or \(p^3\).
zbMATH Open document ID: 31.0185.01
author: J. W. L. Glaisher
published in: The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics
publication date: 1900-01-01T00:00:00Z
review text: Verf. führt die Betrachtungen einer früheren Arbeit (Quart. J. 31, 1-35; vergl. F. d. M. 30, 180, 1899, JFM 30.0180.01) fort. Er berechnet für den Fall, dass \(n\) eine Primzahl \(p\) ist die Reste der dort mit \(A_1,\dots,A_{p-1}\) bezeichneten Ausdrücke mod. \(p^2\) und \(p^3\). Für \(r<p-1\) ist, wie a. a. O. gezeigt ist, \(A_r\) durch \(p\) teilbar. Für \(\frac{A_r}p\) ergiebt sich nun, wenn \(B_m\) die \(m\)-te Bernoulli'sche Zahl ist: \[ \frac{A_1}p \equiv -\frac12\pmod p, \] und falls \(t>0\): \[ \begin{aligned} \frac{A_{2t+1}}p &\equiv0\pmod p,\quad \frac{A_{2t+1}}{p^2} \equiv(-1)^{t+1} \frac{(2t+1)B_t}{4t}\pmod p,\\ \frac{A_{2t}}p &\equiv(-1)^t \frac{B_t}{2t}\pmod p.\end{aligned} \] Ferner wird der Rest von \[ H_n = 1 + \frac1{2^n} + \frac1{3^n} +\cdots+ \frac1{(p-1)^n} \] mod. \(p^2\) und \(p^3\) bestimmt. Es ergiebt sich z. B. für Primzahlen \(p>3\): Wenn \(2n\) kein Vielfaches von \(p-1\) ist, so ist \[ H_{2n}\equiv0 \pmod p,\quad H_{2n-1}\equiv0 \pmod{p^2}; \] wenn \(2n=k(p-1)\), ist \[ H_{2n}\equiv-1 \pmod p,\quad H_{2n-1}\equiv-\frac{k+1}2p \pmod{p^2}. \] Endlich wird die \(r\)te elementarsymmetrische Function \(S_r\) von \(1^2\), \(2^2\), ..., \((p-1)^2\) mod. \(p^2\) untersucht, ferner \(S_r\,(1^3, 2^3,\dots, (p-1)^3)\). Die allgemeine Untersuchung von \[ \lambda_r = S_r(1^n,2^n,\dots,(p-1)^n) \] wird angedeutet; sie zerfällt in \(n\) Fälle.
Mathematics Subject Classification ID: 11A07
Mathematics Subject Classification ID: 11B68
zbMATH DE Number: 2665171
zbMATH Keywords: residue
zbMATH Keywords: sum of powers
zbMATH Keywords: sum of products
zbMATH Keywords: Bernoulli number
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2665171