On divergent series and functions defined by a Taylor series.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On divergent series and functions defined by a Taylor series.
zbMATH Open document ID: 31.0256.01
author: É. Le Roy
published in: Annales de la Faculté des Sciences de l'Université de Toulouse pour les Sciences Mathématiques et les Sciences Physiques. 2ième Série
publication date: 1900-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/72728
review text: I. Es handelt sich um die analytische Fortsetzung einer durch eine Taylor'sche Reihe definirten analytischen Function. Wenn eine Potenzreihe, welche einen Convergenzkreis besitzt, eine Function von einer wohl definirten Eigentümlichkeit darstellt und die Möglichkeit giebt, nach und nach alle Werte der Function zu berechnen, so sollen Merkmale gefunden werden, nach denen aus der Reihe selbst die Stetigkeitseigenschaften der Function abgelesen werden können. II. Um die Werte einer durch ihre Taylor'sche Reihe gegebenen Function für alle Punkte, in welchen sie regulär ist, zu berechnen, werden die folgenden Sätze abgeleitet: Ist \(T\) ein beliebiger endlicher Bereich, dessen Grenze in endlicher Entfernung von der vom Punkte \(z=1\) bis \(z=\infty\) längs der reellen Axe führenden Geraden bleibt, und bezeichnet \(t\) einen reellen Parameter, der kleiner als 1 ist, so convergirt der Ausdruck \(\sum\limits_0^\infty \frac{\Gamma(nt + 1)}{\Gamma(n + 1)}z^n\) gleichmässig gegen \(\frac1{1-z}\), wenn \(t\) gegen 1 convergirt und \(z\) in \(T\) bleibt. --- Ist eine in der Umgebung des Ursprungs holomorphe Function \(f(z) = \sum\limits_0^\infty \alpha_nz^n\) gegeben, so convergirt der Ausdruck \(\sum\limits_0^\infty \frac{\Gamma(nt + 1)}{\Gamma(n + 1)}\alpha_nz^n\) gleichmässig gegen \(f(z)\), wenn \(t\) durch reelle Werte, welche kleiner als 1 sind, gegen 1 convergirt und \(z\) in \(T\) bleibt. Die Function \(f(z)\) kann innerhalb \(T\) mit beliebiger Annäherung durch ein Polynom dargestellt werden. Die Reihe 1) \(\sum\limits_0^\infty \alpha_n\) hat einen endlichen Modul, wenn die associirte Reihe 2) \(\sum\limits_0^\infty \alpha_nz^n\) einen begrenzten Convergenzkreis hat. Dann ist die Hülfsreihe 3) \(\sum\limits_0^\infty \frac{\Gamma(nt + 1)}{\Gamma(n + 1)}\alpha_n\) \((0<t<1)\) convergent. Ist \(L\) der Wert, gegen den diese Hülfsreihe convergirt, so heisst die Reihe 1) summirbar und \(L\) ihre Summe. Wenn die Grössen \(\alpha_n\) von einer Veränderlichen \(u\) abhängen, he…
Mathematics Subject Classification ID: 40C15
zbMATH DE Number: 2665323
zbMATH Keywords: Summation of divergent series
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W4252200732
DOI: 10.5802/AFST.173
description: scientific article; zbMATH DE number 2665323