Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications.
zbMATH Open document ID: 31.0297.01
DOI: 10.1007/BF01454201
author: T. Levi-Civita
author: Gregorio Ricci
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1901-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/157997
review text: Der von Jacobi gegebene und von Beltrami erweiterte Beweis der Invarianz von \(\varDelta_2U\) überrascht sehr dadurch, dass derselbe mit Hülfe der Variation eines Integrals geführt wird, während der Satz seiner Natur nach in die algebraische Theorie der Elimination gehört. Dieser Bemerkung und der a priori angenommenen Möglichkeit, die Theorie der Differentialparameter zweiter Ordnung auf die Theorie der Invarianten algebraischer Formen zurückführen zu können, ist die Entdeckung der Methoden zu danken, welche die Verff. unter dem Namen ``absoluter Differentialcalcul'' zusammenfassen. Die erste Frucht dieser Methoden war die Entdeckung einer ganzen Kette von eine oder mehrere willkürliche Functionen enthaltenden Differentialinvarianten, deren erstes und wichtigstes Glied gerade \(\varDelta_2U\) ist. Der Algorithmus des absoluten Differentialcalculs, wie er von den Verff. hier in seinen Grundzügen dargelegt wird, findet sich bereits in einer Arbeit Christoffel's (``Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades.'' J. für Math. 70, 46-70; F. d. M. 2, 128-129, 1869, JFM 02.0128.03) begründet. Die Methoden dieses Calculs und die Vorteile, welche seine Benutzung darbietet, haben ihren Ursprung in den engen Beziehungen, welche ihn mit dem Begriffe der Mannigfaltigkeit von \(n\) Dimensionen verknüpfen, wie ihn uns die Gauss'schen und die Riemann'schen Arbeiten kennen gelehrt haben. Hiernach ist eine Mannigfaltigkeit \(V_n\) in ihren metrischen Eigenschaften definirt durch \(n\) unabhängige Veränderliche und eine Klasse von quadratischen Differentialformen dieser Veränderlichen, von welchen je zwei durch eine Punkttransformation in einander übergeführt werden können. Es bleibt also \(V_n\) unverändert bei jeder Coordinatentransformation. Die Formeln und Resultate des absoluten Differentialcalculs sind somit ganz unabhängig von der Wahl der unabhängigen Veränderlichen, und es ist daher der absolute Differentialcalcul ein natürliches Werkzeug für a…
zbMATH DE Number: 2665400
Wikidata QID: Q29029840
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2665400