Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications.
Der von Jacobi gegebene und von Beltrami erweiterte Beweis der Invarianz von \(\varDelta_2U\) überrascht sehr dadurch, dass derselbe mit Hülfe der Variation eines Integrals geführt wird, während der Satz seiner Natur nach in die algebraische Theorie der Elimination gehört. Dieser Bemerkung und der a priori angenommenen Möglichkeit, die Theorie der Differentialparameter zweiter Ordnung auf die Theorie der Invarianten algebraischer Formen zurückführen zu können, ist die Entdeckung der Methoden zu danken, welche die Verff. unter dem Namen ``absoluter Differentialcalcul'' zusammenfassen. Die erste Frucht dieser Methoden war die Entdeckung einer ganzen Kette von eine oder mehrere willkürliche Functionen enthaltenden Differentialinvarianten, deren erstes und wichtigstes Glied gerade \(\varDelta_2U\) ist. Der Algorithmus des absoluten Differentialcalculs, wie er von den Verff. hier in seinen Grundzügen dargelegt wird, findet sich bereits in einer Arbeit Christoffel's (``Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades.'' J. für Math. 70, 46-70; F. d. M. 2, 128-129, 1869, JFM 02.0128.03) begründet. Die Methoden dieses Calculs und die Vorteile, welche seine Benutzung darbietet, haben ihren Ursprung in den engen Beziehungen, welche ihn mit dem Begriffe der Mannigfaltigkeit von \(n\) Dimensionen verknüpfen, wie ihn uns die Gauss'schen und die Riemann'schen Arbeiten kennen gelehrt haben. Hiernach ist eine Mannigfaltigkeit \(V_n\) in ihren metrischen Eigenschaften definirt durch \(n\) unabhängige Veränderliche und eine Klasse von quadratischen Differentialformen dieser Veränderlichen, von welchen je zwei durch eine Punkttransformation in einander übergeführt werden können. Es bleibt also \(V_n\) unverändert bei jeder Coordinatentransformation. Die Formeln und Resultate des absoluten Differentialcalculs sind somit ganz unabhängig von der Wahl der unabhängigen Veränderlichen, und es ist daher der absolute Differentialcalcul ein natürliches Werkzeug für alle Untersuchungen, welche eine Mannigfaltigkeit \(V_n\) zum Gegenstande haben, oder welche als charakteristisches Element eine positive quadratische Form der Differentiale von \(n\) Veränderlichen oder ihren Ableitungen aufweisen. Die summarische Darstellung, welche die Verff. in der vorliegenden Abhandlung von diesen Methoden und ihren Anwendungen geben, sollen den Leser von den Vorteilen dieses Calculs überzeugen und demjenigen, welcher ihn anwenden will, die Mühe und Schwierigkeiten vermindern, welche die Benutzung eines neuen Hülfsmittels stets mit sich bringt. Die Abhandlung zerfällt in zwei ziemlich gleiche Teile; in dem ersten werden die Grundzüge des Algorithmus auseinandergesetzt, in dem zweiten wird er auf Beispiele aus der Analysis, Geometrie, Mechanik und Physik angewandt.
scientific article; zbMATH DE number 2665400