On the analytic representation of a single-valued branch of a monogenic function. (Second and third notes.)
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the analytic representation of a single-valued branch of a monogenic function. (Second and third notes.)
zbMATH Open document ID: 31.0404.04
DOI: 10.1007/BF02403072
published in: Acta Mathematica
publication date: 1900-01-01T00:00:00Z
review text: Da Mittag-Leffler den Inhalt der beiden ersten Abhandlungen (siehe JFM 31.0404.02 und JFM 31.0404.03) in seine zweite Note aufgenommen hat, genügt es, über diese und die dritte zu berichten. Nachdem an die Definition des Sternes \(A\) mit dem Mittelpunkte \(a\) erinnert worden ist, der später zum Unterschiede gegen andere, neu eingeführte Sterne den Namen eines ``Hauptsterns'' erhält, wird das Haupttheorem der ersten Note (F. d. M. 29, 358-361, 1898, JFM 29.0358.03; 30, 364-366, 1899, JFM 30.0364.05) mittels des Begriffes des Grenzausdruckes in folgende Fassung gebracht: Essei \[ F(a),F^{(1)}(a),\dots,F^{(\mu)}(a),\dots \] eine Reihe von Constanten, die der Cauchy'schen Bedingung dafür genügen, dass \[ \sum_{\mu=0}^\infty \frac1{\mu!} F^{(\mu)}(a)(x-a)^\mu \] convergirt. Man bilde die Polynome: \[ \begin{multlined} G_n(x|a) = \sum_{\lambda_1=0}^{n^2} \sum_{\lambda_2=0}^{n^4}\cdots \sum_{\lambda_n=0}^{n^{2n}} \frac1{\lambda_1!\lambda_2!\dots\lambda_n!}\\ \times F^{(\lambda_1 + \lambda_2 +\cdots+ \lambda_n)}(a) \left(\frac{x-a}n\right)^{\lambda_1 + \lambda_2 +\cdots+ \lambda_n}.\end{multlined} \] Alsdann ist der Ausdruck \[ \lim_{n=\infty} G_n(x|a) \] gleichmässig convergent für jedes Gebiet im Innern des Sternes \(A\), der in bekannter Weise durch die gegebenen Constanten eindeutig bestimmt ist, dagegen niemals gleichmässig convergent für ein Continuum, das eine Ecke von \(A\) enthält. Er definirt ferner im Innern von \(A\) den eindeutigen Zweig \(FA(x)\) einer monogenen Function, die im Innern von \(A\) regulär ist, aber an den Ecken von \(A\) singulär wird. Dieser Zweig besitzt endlich die Eigenschaft, dass \[ \lim_{x=\infty} \frac{d^\mu FA(x)}{dx^\mu} = F^{(\mu)}(a) \] wird für \(\mu=0,1,2,\dots,\infty\). Die Polynome \(G_n(x|a)\) lassen sich auf unendlich viele Arten durch andere Polynome \(g_n(x|a)\) ersetzen, die zu einem Grenzausdrucke \[ \lim_{n=\infty} g_n(x|a) \] derselben Beschaffenheit führen. Der Grenzausdruck \(\lim\limits_{n=\infty} G_n(x|a)\) kann, be…
Mathematics Subject Classification ID: 30B50
zbMATH DE Number: 2665625
zbMATH Keywords: Series expansions in stars.
Wikidata QID: Q105475611
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02403072
OpenAlex ID: W4206440221
author: Gösta Mittag-Leffler
description: scientific article; zbMATH DE number 2665625