On the analytic representation of a single-valued branch of a monogenic function. (Second and third notes.)
Da Mittag-Leffler den Inhalt der beiden ersten Abhandlungen (siehe JFM 31.0404.02 und JFM 31.0404.03) in seine zweite Note aufgenommen hat, genügt es, über diese und die dritte zu berichten. Nachdem an die Definition des Sternes \(A\) mit dem Mittelpunkte \(a\) erinnert worden ist, der später zum Unterschiede gegen andere, neu eingeführte Sterne den Namen eines ``Hauptsterns'' erhält, wird das Haupttheorem der ersten Note (F. d. M. 29, 358-361, 1898, JFM 29.0358.03; 30, 364-366, 1899, JFM 30.0364.05) mittels des Begriffes des Grenzausdruckes in folgende Fassung gebracht: Essei \[ F(a),F^{(1)}(a),\dots,F^{(\mu)}(a),\dots \] eine Reihe von Constanten, die der Cauchy'schen Bedingung dafür genügen, dass \[ \sum_{\mu=0}^\infty \frac1{\mu!} F^{(\mu)}(a)(x-a)^\mu \] convergirt. Man bilde die Polynome: \[ \begin{multlined} G_n(x|a) = \sum_{\lambda_1=0}^{n^2} \sum_{\lambda_2=0}^{n^4}\cdots \sum_{\lambda_n=0}^{n^{2n}} \frac1{\lambda_1!\lambda_2!\dots\lambda_n!}\\ \times F^{(\lambda_1 + \lambda_2 +\cdots+ \lambda_n)}(a) \left(\frac{x-a}n\right)^{\lambda_1 + \lambda_2 +\cdots+ \lambda_n}.\end{multlined} \] Alsdann ist der Ausdruck \[ \lim_{n=\infty} G_n(x|a) \] gleichmässig convergent für jedes Gebiet im Innern des Sternes \(A\), der in bekannter Weise durch die gegebenen Constanten eindeutig bestimmt ist, dagegen niemals gleichmässig convergent für ein Continuum, das eine Ecke von \(A\) enthält. Er definirt ferner im Innern von \(A\) den eindeutigen Zweig \(FA(x)\) einer monogenen Function, die im Innern von \(A\) regulär ist, aber an den Ecken von \(A\) singulär wird. Dieser Zweig besitzt endlich die Eigenschaft, dass \[ \lim_{x=\infty} \frac{d^\mu FA(x)}{dx^\mu} = F^{(\mu)}(a) \] wird für \(\mu=0,1,2,\dots,\infty\). Die Polynome \(G_n(x|a)\) lassen sich auf unendlich viele Arten durch andere Polynome \(g_n(x|a)\) ersetzen, die zu einem Grenzausdrucke \[ \lim_{n=\infty} g_n(x|a) \] derselben Beschaffenheit führen. Der Grenzausdruck \(\lim\limits_{n=\infty} G_n(x|a)\) kann, bei geeigneter Wahl der Constanten \(F(a)\), \(F^{(1)}(a)\), ..., \(F^{(\mu)}(a)\), ..., auch ausserhalb des Sternes \(A\) convergiren. Dadurch geht die Analogie mit der Taylor'schen Reihe verloren, die ausserhalb des Convergenzkreises überall divergirt, ein Uebelstand, der jedoch zu ertragen sein würde, wenn \(\lim\limits_{n=\infty} G_n\) ausserhalb des Sternes \(A\), falls Convergenz stattfindet, eine Fortsetzung des Zweiges \(FA(x)\) darstellte. Das kann allerdings eintreten; es braucht aber nicht der Fall zu sein, so dass es also bei geeigneter Wahl der Constanten Gebiete ausserhalb \(A\) giebt, in denen \(\lim\limits_{n=\infty} G_n\) gleichmässig convergirt und eine analytische Function darstellt, die keine Fortsetzung des Zweiges \(FA(x)\) ist. Diesem Mangel stehen Vorzüge des Grenzausdruckes \(\lim\limits_{n=\infty} G_n(x|a)\) gegenüber: 1. Die Verallgemeinerung auf eine beliebige Anzahl von unabhängigen Veränderlichen liegt auf der Hand, 2. die Coefficienten der Polynome \(G_n(x|a)\) haben eine ausserordentlich einfache Form, 3. der Beweis des Haupttheorems ist unabhängig von der Wahl der von dem Punkte \(a\) ausgehenden Vectoren, die keine geraden Linien, sondern auch Curven sein können, welche nur gewissen leicht ersichtlichen Beschränkungen unterworfen sind, 4. die Darstellung von \(FA(x)\) durch \(\lim\limits_{n=\infty} G_n(x|a)\) hängt aufs engste zusammen mit einer Verallgemeinerung der Taylor'schen Reihe, die auseinanderzusetzen der Zweck der zweiten Note ist. Unter den Sternen, die dem Hauptsterne \(A\) eingeschrieben sind, befindet sich auch der Kreis \(C\) mit dem Mittelpunkte \(a\), der durch die dem Punkte \(a\) am nächsten liegende Ecke des Sternes \(A\) geht, und zu ihm gehört der Ausdruck \[ \lim_{n=\infty} \sum_{n=0}^\infty \frac1{\nu!} F^{(\nu)}(a)(x-a)^\nu, \] also die Taylor'sche Reihe, die dieselben wesentlichen Eigenschaften besitzt wie der Grenzausdruck \(\lim\limits_{n=\infty} G_n(x|a)\), mit der Ausnahme, dass bei \(A\) jede Ecke ein singulärer Punkt ist, während man von dem Umfange des Kreises \(C\) nur weiss, dass auf ihm mindestens ein singulärer Punkt liegt. Dafür besitzt, wie schon erwähnt wurde, die Taylor'sche Reihe den Vorzug, ausserhalb \(C\) zu divergiren. Mittag-Leffler zeigt nun, dass man zwischen \(C\) und \(A\) unendlich viele Zwischensterne \(K\) einschalten kann, von denen jeder dem vorhergehenden umgeschrieben ist, und zu deren jedem ein Grenzausdruck gehört, der in Bezug auf seinen Stern alle Eigenschaften besitzt, die der Taylor'schen Reihe in Bezug auf \(C\) zukommen. Die Darstellung der gesuchten Ausdrücke beruht auf der Einführung des Begriffes \(n\)-fach unendlicher Summen, der von dem Begriffe \(n\)-facher Summen durchaus verschieden ist. Der Wert einer \(n\)-fachen Summe \[ \sum_{\lambda_1=0}^\infty \sum_{\lambda_2=0}^\infty\cdots \sum_{\lambda_n=0}^\infty f_{\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n} \] wird erhalten, indem man eine einfache Summe bildet, deren Glieder aus den verschiedenen Functionen \(f_{\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n}\) bestehen, die den ganzen Zahlen 0, 1, 2, ... nach einem bestimmten Gesetze zugeordnet werden. Dagegen erhält man den Wert \(f\) einer \(n\)-fach unendlichen Reihe, indem man der Reihe nach die Summen bildet \[ f_{\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_{n-1}} = \sum_{\lambda_n=0}^\infty f_{\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n},\quad f_{\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_{n-2}} = \sum_{\lambda_{n-1}=0}^\infty f_{\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_{n-1}}, \] \[ .\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad. \quad. \] \[ f_{\lambda_1} = \sum_{\lambda_2=0}^\infty f_{\lambda_1\lambda_2},\quad f = \sum_{\lambda_1=0}^\infty f_{\lambda_1}, \] wobei die Convergenz aller dieser Summen für ein System der Werte der in den \(f_{\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n}\) enthaltenen Veränderlichen oder auch für ein Gebiet von Systemen dieser Werte vorausgesetzt wird. Mit Hülfe des Begriffes der \(n\)-fach unendlichen Reihen ergiebt sich nun das Theorem: Es sei \(X\) irgend ein im Innern von \(A\) enthaltener Bereich. Dann kann man stets eine kleinste ganze positive Zahl \(\bar n\) so bestimmen, dass für \(n\geq\bar n\) die \(n\)-fach unendliche Reihe \[ \begin{multlined} \sum_{\lambda_1=0}^\infty \sum_{\lambda_2=0}^\infty\cdots \sum_{\lambda_n=0}^\infty \frac1{\lambda_1!\lambda_2!\dots\lambda_n!}\\ \times F^{(\lambda_1 + \lambda_2 +\cdots+ \lambda_n)}(a) \left(\frac{x-a}n\right)^{\lambda_1 + \lambda_2 +\cdots+ \lambda_n}\end{multlined}\tag{\(\mathfrak M\)} \] in \(X\) gleichmässig convergent ist und \(FA(x)\) darstellt. Für den wahren Convergenzbereich der Reihe \((\mathfrak M)\) stellt sich die merkwürdige Thatsache heraus, dass die Fälle \(n=1\), 2, 3 und \(n>3\) vollständig zu trennen sind. In dem ersten Fall ist der wahre Convergenzbereich ein Stern \(E^{(n)}\), den man auf folgende Art erhält. Man fixire einen Vector \(l\), der von \(a\) ausgeht, und trage auf ihm von \(a\) aus die Strecke \((n-1)r\) ab, wo \(r\) eine so kleine Grösse bedeutet, dass jeder Kreis vom Radius \(r\), der um irgend einen Punkt der aufgetragenen Strecke beschrieben ist, dem Sterne \(A\) angehört. Ist \(\varrho\) die obere Grenze von \(r\), und trägt man auf dem Vector \(l\) die Strecke \(n\varrho\) von \(a\) aus ab, so findet man einen Punkt der Grenze des Sternes \(E^{(n)}\), und indem man \(l\) eine Drehung um \(a\) ausführen lässt, ergiebt sich die ganze Grenze. Das gilt, wie auch die Constanten \(F(a)\), \(F^{(1)}(a)\), ..., \(F^{(\mu)}(a)\), ... gewählt sein mögen, zu denen der Stern \(A\) gehört. In dem zweiten Fall giebt es keinen solchen Stern \(E^{(n)}\) als wahren Convergenzbereich; man kann vielmehr die Constanten so wählen, dass die Reihe \((\mathfrak M)\) in einem Punkte \(x'\) convergirt, ohne in einem anderen Punkte \(x''\) zu convergiren, der auf dem Vector zwischen \(a\) und \(x'\) liegt. Hieraus entsteht die Frage, ob man nicht \(n\)-fach unendliche Reiben construiren kann, die für jeden Wert von \(n\) die Eigenschaft haben, die der Reihe \((\mathfrak M)\) für \(n=1\), 2, 3 zukommt, die also einen ``wahren Convergenzstern'' besitzen. Das gelingt in der That. Setzt man nämlich \[ \begin{multlined} S_n(x|a) = \sum_{\lambda_1=0}^\infty \sum_{\lambda_2=0}^\infty\cdots \sum_{\lambda_n=0}^\infty c_{\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n}\\ \times F^{(\lambda_1 + \lambda_2 +\cdots+ \lambda_n)}(a)\cdot (x-a)^{\lambda_1 + \lambda_2 +\cdots+ \lambda_n},\end{multlined} \] wo \(c_{\lambda_1\lambda_2\dots\lambda_n}\) gewisse numerische Coefficienten bezeichnen, die unabhängig sind von den Constanten \(F(a)\), \(F^{(1)}(a)\), ..., \(F^{(\mu)}(a)\), ... sowie von \(a\) und \(x\), so lassen sich diese Coefficienten stets so bestimmen, dass \(S_n(x|a)\) einen Convergenzstern \(A^{\left(\frac1n\right)}\) von folgender Beschaffenheit besitzt. Für jedes innerhalb \(A^{\left(\frac1n\right)}\) gelegene Gebiet convergirt die Reihe gleichmässig und divergirt für jeden Punkt ausserhalb \(A^{\left(\frac1n\right)}\). Der Stern \(A^{\left(\frac1n\right)}\) ist dem Hauptstern \(A\) eingeschrieben und enthält, wenn \(n\) nur gross genug gewählt wird, jedes endliche in \(A\) enthaltene Gebiet. Für \(n=\infty\) geht \(A^{\left(\frac1n\right)}\) in \(A\) über, und es wird bewiesen, dass \(\lim\limits_{n=\infty}S_n(x|a)\) den Stern \(A\) zum wahren Convergenzbereich hat und für ihn \(FA(x)\) darstellt. Dasselbe Problem wird in der dritten Note behandelt, jedoch nach einer ganz anderen, offenbar aus tief liegenden Betrachtungen geschöpften Methode, über deren Ursprung Mittag-Leffler jedoch nichts mitteilt. Setzt man \[ \frac{z-a}{x-a} = \frac ur e^{\int_r^u[(\frac{1+u}{1-u})^{1-\alpha}-1]\frac{du}u} = f(u|\alpha), \] wo \(x\) als constant angesehen wird und \(\alpha\) und \(r\) positive echte Brüche bedeuten, so entspricht dem um den Punkt \(u=0\) mit dem Radius 1 beschriebenen Kreise in der \(z\)-Ebene eine herzförmige Figur, die den Vector von \(a\) nach \(x\) zur Symmetrieaxe hat. Beschreibt ferner \(u\) einen concentrischen Kreisumfang vom Radius \(r\), so wird durch die entsprechende Curve eine Figur \(Z\) begrenzt, die ganz im Innern der herzförmigen Figur liegt. Die Figur \(Z\) heisst die erzeugende Figur, die Function \(f(u|\alpha)\) die erzeugende Function eines Sternes \(\mathfrak E^{(a)}\), der aus irgend einem zum Punkte \(a\) gehörigen Sterne \(\mathfrak E\) entsteht, indem man einen Vector \(l\) sich um \(a\) drehen lässt und von seinen Punkten \(x\) immer den Punkt \(\bar x\) wählt, bei dem \(|\bar x-a|\) die obere Grenze der Werte von \(|x-a|\) ist, für welche die entsprechende Figur \(Z\) einen Teil von \(\mathfrak E\) bildet. Da die Grösse \(r\) noch zur Verfügung steht, kann man der erzeugenden Function noch die Bedingung auferlegen, dass der Stern \(\mathfrak E^{(\alpha)}\) für hinreichend kleines \(\alpha\) in seinem Innern irgend einen gegebenen Bereich enthält, der nur im Innern von \(\mathfrak E\) liegen muss. Es ist ferner zu bemerken, dass \(\mathfrak E^{(1)}\) der dem Sterne \(\mathfrak E\) eingeschriebene Kreis mit dem Mittelpunkte \(a\) wird. Nach diesen Vorbereitungen wird die Reihe betrachtet: \[ S_a(x|a) = F(a) + \sum_{\nu=1}^\infty G_\nu(x-a), \] wo \[ \begin{multlined} G_\nu(x-a) = \frac{h_{\nu-1}^{(1)}}{1!(\nu-1)!}F^{(1)}(a)\cdot(x-a) + \frac{h_{\nu-2}^{(2)}}{2!(\nu-2)!}F^{(2)}(a)\cdot(x-a)^2 +\cdots\\ + \frac{h_{1}^{(\nu-1)}}{(\nu-1)!1!}F^{(\nu-1)}(a)\cdot(x-a)^{\nu-1} + \frac{h_{0}^{(\nu)}}{(\nu)!0!}F^{(\nu)}(a)\cdot(x-a)^{\nu}\end{multlined} \] zu setzen ist (die Formel für \(G_\nu(x-a)\) auf S. 224 enthält einige Druckfehler); dabei sind die \[ h_{\nu-\mu}^{(\mu)} \quad \left(\begin{aligned} \mu &= 1,2,\dots,\nu\\ \nu &= 1,2,\dots,\infty\end{aligned}\right) \] bestimmte positive Constanten, die nur von der erzeugenden Function \(f(u|\alpha)\) abhängen. Durch geeignete Wahl der erzeugenden Function lässt sich alsdann erreichen, dass die Reihe \(S_a(x|a)\) einen wahren Convergenzstern \(A^{(a)}\) besitzt, der aus dem Hauptstern \(A\) ebenso hervorgeht, wie der Stern \(\mathfrak E^{(a)}\) aus \(\mathfrak E\), dass ferner im Innern von \(A^{(a)}\) überall die Gleichung \[ FA(x) = S_a(x|a) \] gilt, und dass endlich die Reihe \(S_a(x|a)\) für \(\alpha=1\) in die Taylor'sche Reihe übergeht, während \(\lim\limits_{a=0} S_a(x|a)\) den Hauptstern zum wahren Convergenzstern hat und in dessen Innerem ebenfalls \(FA(x)\) darstellt. Zwischen der Taylor'schen Reihe und den Reihen \(S_a(x|a)\) bestehen noch weitere Analogien. Erstens kann durch geeignete Festsetzungen für die erzeugende Function \(f(u|\alpha)\) erreicht werden, dass bei gegebenem \(\alpha\) die obere Grenze der Häufungsstellen von \[ |\root\nu\of{G_\nu(x-a)}|\qquad (\nu = 1,2,\dots,\infty) \] gleich eins ist, wenn \(x\) dem Innern von \(A^{(a)}\) angehört, und grösser als eins, wenn \(x\) ausserhalb \(A^{(a)}\) liegt. Liegt ferner der Punkt \(x\) im Innern des Hauptsternes \(A\), so giebt es stets eine Grösse \(\alpha_0 < 1\), so dass für \(\alpha < \alpha_0\) die obere Grenze der Häufungsstellen der absoluten Beträge jener \(\nu\)-ten Wurzeln gleich eins ist, während bei einem \(x\) ausserhalb \(A\) diese Grenze stets grösser als eins ist, wobei \(\alpha\) beliebig sein darf. Es ist klar, dass dieses Theorem ein wertvolles Mittel giebt, um die Ecken des Sternes \(A\) zu ermitteln, ein Gegenstand, über den Mittag-Leffler weitere Mitteilungen in Aussicht stellt (vgl. JFM 32.0402.01). Zweitens lässt sich durch geeignete Wahl der erzeugenden Function erreichen, ohne dass die vorhergehenden Theoreme ihre Gültigkeit verlieren, dass auch noch die Ungleichheiten gelten \[ |G_\nu(x-a)| < g\qquad (\nu = 1,2,3,\dots,\infty), \] in denen \(g\) die obere Grenze von \(|FA^{(a)}(x)|\) bedeutet, wenn \(x\) den Umfang eines Sternes \(E\) durchläuft, der zu dem Sterne \(A^{(a)}\) ähnlich und ähnlich gelegen ist und dem Innern von \(A^{(a)}\) angehört; für \(\alpha=1\) ergeben sich hieraus die bekannten Cauchy-Weierstrass'schen Ungleichheiten: \[ |\frac1{\nu!}F^{(\nu)}(a)| < gr^{-\nu}, \] in denen \(r\) eine positive Grösse bezeichnet, die kleiner als der wahre Convergenzradius der Reihe \[ F(a) + \sum_{\nu=1}^\infty \frac1{\nu!}F^{(\nu)}(a)\cdot (x-a)^\nu \] ist, während \(g\) die obere Grenze von \(F(x)\) für den Umfang des Kreises bedeutet, der um den Punkt \(a\) mit dem Radius \(r\) beschrieben ist.
scientific article; zbMATH DE number 2665625