On the method of the arithmetic mean, in particular on the improvements concerning the investigations of Poincaré in the work of A. Korn and E.R. Neumann.
Die Methode des arithmetischen Mittels, mit deren Hülfe es dem Verf. bekanntlich zum ersten Male gelang, Functionen zu construiren, welche im Innen- oder Aussenraum einer gegebenen geschlossenen Fläche ohne Ecken und Kanten stetig sind, die Laplace'sche Gleichung befriedigen, an der Fläche in vorgeschriebene Werte übergehen und deren Ableitungen in irgend welcher Entfernung von der Fläche stetig sind, setzt voraus, dass die Fläche überall convex ist und die auf der Fläche vorgeschriebenen Randwerte stetig sind. Nach den späteren Untersuchungen von Poincaré ist es sehr wahrscheinlich, dass die beschränkende Voraussetzung der Convexität nicht notwendig ist; auch hat Korn nach dieser Richtung wichtige Fortschritte erzielt [Lehrbuch der Potentialtheorie, 1899; F. d. M. 30, 690-692, 1899, JFM 30.0690.05] und die mehr oder weniger provisorischen Ergebnisse Poincaré's zum Teil bestätigt, ohne dabei das bedenkliche Dirichlet'sche Princip heranzuziehen. In der gegenwärtigen Arbeit sucht nun Verf. den Korn'schen Untersuchungen eine etwas anschaulichere Gestaltung und namentlich auch gewissen Teilen derselben durch Anwendung zweier von E. R. Neumann gefundenen Sätze ein etwas strengeres Gefüge zu verleihen. Seine Abhandlung charakterisirt Verf. selbst durch folgenden Satz: ``Das im vorliegenden Aufsatz aufgeführte theoretische Gebäude ist einstweilen nur als ein vorläufiges Gerüst zu bezeichnen, welches in seinen einzelnen Teilen noch mühsamer und sorgfältiger Durchforschungen dringend bedarf. Immerhin aber dürfte zu erwarten sein, dass dieses provisorische Gerüst durch solche tiefer gehende Forschungen, durch mancherlei Determinationen und Rectificationen, schliesslich in ein wirklich festes Gebäude sich verwandeln werde.''
The Dirichlet problem in three dimensions.
scientific article; zbMATH DE number 2665636