On a set of coefficients analogous to the Eulerian numbers.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On a set of coefficients analogous to the Eulerian numbers.
zbMATH Open document ID: 30.0181.02
author: J. W. L. Glaisher
published in: Proceedings of the London Mathematical Society
publication date: 1899-01-01T00:00:00Z
review text: (siehe auch JFM 30.0181.01) In diesen beiden Aufsätzen handelt es sich um das Studium der Coefficienten von Potenzreihen, die nicht mehr ein ganz übersichtliches Gesetz verfolgen, bei denen jedoch für die Berechnung der Coefficienten Recursionsformeln einer gleich anzugebenden Gestalt zur Verfügung stehen. Als Prototyp für die behandelten Ansätze gilt die Entwicklung des reciproken Wertes von \(\cos x\): \[ \frac1{\cos x} = 1 + \frac{E_1}{2!}x^2 + \frac{E_2}{4!}x^4 + \frac{E_3}{6!}x^6 + \cdots. \] Hier sind die ganzzahligen \(E_1\), \(E_2\), ... die sogenannten Euler'schen Zahlen. Für dieselben gilt die Recursionsformel: \[ \begin{multlined} E_n - (2n)_2E_{n-1} + (2n)_4E_{n-2} - \cdots + (-1)^{n- 1}(2n)_{2n-2}E_1\\ + (-1)^n(2n)_{2n}E_0 = 0.\end{multlined} \] Der Verf. behandelt nun einen sehr viel allgemeineren Ansatz, der die Coefficienten zahlreicher weiteren Potenzreihen, z. B. derjenigen für \(\frac1{2\cos x\pm1}\), \(\frac{2\cos x}{2\cos2x+1}\), \(\frac{\cos x}{\cos2x}\), \(\frac{\cos^2x}{\cos3x}\), ..., wie auch die Euler'schen Zahlen als specielle Fälle umfasst. Die Grössen \(X_0\), \(X_1\), \(X_2\), ... sollen durch die Recursionsformel verknüpft sein: \[ (\lambda+1)a^nX_n + (n)_1a^{n-1}bX_{n-1} + (n)_2a^{n-2}b^2X_{n-2} + \cdots + (n)_nb^nX_0 = c_n. \] Hier bedeuten die Symbole \((n)_1\), \((n)_2\), ... die Binomialcoefficienten, \(\lambda\) ist eine Constante, \(a\), \(b\) sind gegebene ganze Zahlen, und \(c_n\) ist eine derart von \(n\) abhängende Grösse, dass für zwei modulo \((p-1)\) cougruente Indices \(n\) und \(n'\) die zugehörigen \(c_n\) und \(c_{n'}\) eine durch \(p\) teilbare Differenz aufweisen; \(p\) bedeutet hierbei eine gegebene ungerade Primzahl. Die an diesen Ansatz angeschlossenen umfänglichen Betrachtungen betreffen nun Congruenzen bezüglich des Moduls \(p\), welche zwischen den \(X\) sowohl im allgemeinen Falle, wie in besonders wichtigen Specialfällen bestehen. Es handelt sich dabei um zahlreiche Einzelresultate, welche man an Ort und St…
Mathematics Subject Classification ID: 11B68
Mathematics Subject Classification ID: 11B83
Mathematics Subject Classification ID: 11B37
Mathematics Subject Classification ID: 11A07
zbMATH DE Number: 2667837
zbMATH Keywords: Eulers numbers
zbMATH Keywords: binomial coefficient
zbMATH Keywords: recurrence
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s1-31.1.216
OpenAlex ID: W1966532502
DOI: 10.1112/PLMS/S1-31.1.216
description: scientific article; zbMATH DE number 2667837