On a theorem of Mr. Hadamard.
Hadamard hatte (F. d. M. 29, 210-211, 1897, JFM 29.0210.02) das Theorem bewiesen: Definirt man durch die Potenzreihen \[ \sum_{n=0}^\infty a_nz^n,\,\sum_{n=0}^\infty b_nz^n,\,\sum_{n=0}^\infty a_nb_nz^n \] die analytischen Functionen \(f(z)\), \(\varphi(z)\), \(\psi(z)\), so kann \(\psi(z)\) keine anderen singulären Punkte \(z=\gamma\) haben als solche, bei denen \(\gamma=\alpha\cdot\beta\) ist, wo \(z=\alpha\) einen singulären Punkt von \(f(z)\), \(z=\beta\) einen singulären Punkt von \(\varphi(z)\) bedeutet. Hurwitz bemerkt hierzu, dass die Anwendung des verallgemeinerten Cauchy'schen Satzes auf das Doppelintegral \[ \frac1{(2\pi i)^2}\iint\frac{f(z)\varphi(t)dz\,dt}{zt-x}\tag{1} \] einen einfachen Beweis dieses Theorems ergiebt, und dass man andere Theoreme derselben Art erhält, wenn man Doppelintegrale betrachtet, die dem Integrale (1) ähnlich sind. Wählt man zum Beispiel: \[ \frac1{(2\pi i)^2}\iint\frac{f(z)\varphi(t)dz\,dt}{x-(z+t)},\tag{2} \] so gelangt man zu dem Lehrsatze: Besitzen die Functionen: \[ f(z) = \sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{z^{n+1}},\quad\varphi(z) = \sum_{n=0}^\infty\frac{b_n}{z^{n+1}} \] ausser dem Punkte \(z=0\) keine anderen Singularitäten als einfache Pole, in denen \(f(z)\) wie \(A/(z-\alpha)\), \(\varphi(z)\) wie \(B/(z-\beta)\) unendlich wird, so ist die Function \[ \psi(z) = \sum_{n=0}^\infty\left(a_0b_n + \binom n1 a_1b_{n-1} + \binom n2 a_2b_{n-2} +\cdots+ a_nb_0\right)\frac1{z^{n+1}} \] in der ganzen Ebene eindeutig und besitzt als singuläre Punkte, ausser den singulären Punkten \(z=0,\) \(z=\alpha\) und \(z=\beta\) von \(f(z)\) und \(\varphi(z)\), nur noch einfache Pole, in denen sie unendlich wird wie \(AB/[z-(\alpha+\beta)]\). Man hat also hier eine Art Addition der Singularitäten, während das Theorem von Hadamard eine Multiplication ergiebt.
scientific article; zbMATH DE number 2668296