On the analytic representation of a branch of a monogenic function.
In der ersten Abhandlung (siehe JFM 30.0364.03) giebt Mittag-Leffler eine zusammenfassende Darstellung von Untersuchungen, über die er im Jahre 1898 der Akademie in Stockholm Mitteilungen gemacht hatte (vergl. F. d. M. 29, 358-361, 1898, JFM 29.0358.03). Die zweite (siehe JFM 30.0364.04) ist eine kurze Anzeige der ersten, die dritte unterscheidet sich davon nur durch einen Zusatz, in dem die Beziehungen zu früheren Arbeiten von Borel und Painlevé dargelegt werden. Es wird daher im folgenden nur über die erste Abhandlung zu berichten sein. Wird einer complexen Zahl \(a\) eine unendliche Reihe von Grössen \(F_{(a)}^{(\mu)}\) \((\mu=0 1,2,\dots)\) zugeordnet, bei denen die obere Grenze der Häufungstellen der absoluten Beträge von \[ \root\mu\of{\frac1{\mu!} F_{(a)}^{(\mu)}} \] eine endliche Zahl \(1/r\) ist, so hat nach einem von Cauchy 1821 entdeckten und neuerdings von Hadamard wiedergefundenen Satze die Potenzreihe \[ \mathfrak P(x|a) = \sum_{\mu=0}^\infty \frac1{\mu!} F_{(a)}^{(\mu)}(x- a)^\mu \] den wahren Convergenzkreis \(C: |x-a|=r\), und die Elemente \(F_{(a)}^{(\mu)}\) bestimmen daher die aus \(\mathfrak P(x|a)\) durch analytische Fortsetzung hervorgehende Function \(F(x)\). Dass eine analytische Function \(F(x)\) durch Elemente \(F_{(a)}^{(\mu)}\) definirt wird, ereignet sich sehr häufig; es geschieht z. B., wenn man in der üblichen Weise verfährt, bei dem Problem der Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen. Die Potenzreihe \(\mathfrak P(x|a)\) giebt, vermöge der Elemente und der von ihrer Wahl unabhängigen rationalen Zahlen \(1/\mu!\), eine Darstellung von \(F(x)\), die für einen eindeutigen Zweig dieser Function innerhalb des Convergenzkreises \(C\) gültig ist; sie lehrt uns also in vielen Fällen, ja für die Praxis in der Regel, nicht einmal einen eindeutigen Zweig der Function vollständig kennen. Dazu bedarf es vielmehr, wenn man nach den Vorschriften der Weierstrass'schen Functionentheorie verfahren will, der analytischen Fortsetzung von \(\mathfrak P(x|a)\). Die so entstehenden Potenzreihen \(\mathfrak P_\nu(x|a_\nu)\) \((\nu=0,1,2,\dots)\) sind allerdings durch die Elemente \(F_{(a)}^{(\mu)}\) vollständig bestimmt; um sie herzustellen muss man aber den wahren Convergenzkreis jeder Reihe \(\mathfrak P_\nu(x|a_\nu)\) bestimmen, da man sonst nicht weiss, wo man den folgenden Punkt \(a_{\nu+1}\) wählen soll. Der Versuch, auf diesem Wege Einsicht in die Natur von \(F(x)\) zu gelangen, scheitert schon in den einfachsten Fällen an der Complication der Rechnungen. Weierstrass selbst hat die analytische Fortsetzung nur als Mittel zur Definition der analytischen Function, nicht als Werkzeug zur Erforschung ihrer Eigenschaften angesehen; er hat z. B. in Vorlesungen, die der Referent gehört hat, darauf hingewiesen, welche Schwierigkeiten es haben würde, die Eigenschaften der Function \(\wp(u)\) zu ermitteln, wenn nur die Potenzreihe vorgelegt wäre: \[ \sum_{\lambda=1}^\infty c_\lambda u^{2\lambda-2} \] mit den Bestimmungen \[ c_2 = \frac1{20}g_2,\,c_3 = \frac1{28}g_3,\,c_\lambda = \frac3{(\lambda- 3)(2\lambda+1)}\sum_{\nu=2}^{\lambda-2} c_\nu c_{\lambda- \nu}\qquad(\lambda>3). \] Es ist bemerkenswert, dass die Theorie von Cauchy für diesen Zweck keine Hülfe gewährt. Allerdings hat man, wenn \(F(x)\) im Innern eines zusammenhängenden Gebietes \(K\) regulär und eindeutig ist, für jeden Punkt \(x\) im Innern von \(K\) die Darstellung \[ F(x) = \frac1{2\pi i}\int^{(S)}\frac{F(z)dz}{z-x} \] (der Factor \(1/2\pi i\) fehlt bei Mittag-Leffler), wo das Integral über eine geschlossene Kontur \(S\) im Innern von \(K\), aber beliebig nahe der Grenze von \(K\) zu erstrecken ist; allein wenn man das Integral als eine unendliche Summe rationaler Functionen darstellen will, wie das Runge gethan hat (Acta Math. 6, 229 ff.; F. d. M. 17, 379, 1885, JFM 17.0379.01), so erfordert diese Darstellung die Kenntnis des Wertes von \(F(x)\) in einer unendlichen abzählbaren Menge von Punkten, die der Grenze von \(K\) unendlich nahe kommen müssen; diese Werte sind aber aus den Elementen \(F_{(a)}^{(\mu)}\) nur durch den Process der analytischen Fortsetzung zu erlangen. Unter diesen Umständen ist es ein ausserordentlich wichtiger Fortschritt, dass Mittag-Leffler ein Verfahren gefunden hat, um einen möglichst ausgedehnten Zweig von \(F(x)\) mit Hülfe der Elemente \(F_{(a)}^{(\mu)}\) und rationaler Zahlen, die von der Wahl der Elemente unabhängig sind, in Form einer Summe von ganzen rationalen Functionen \[ \sum_{\mu=0}^\infty G_\mu(x) \] darzustellen; diese Summe convergirt für jeden Punkt eines gewissen Gebietes \(A\) und convergirt gleichmässig für jedes ganz im Innern von \(A\) liegende Gebiet. Dabei ist \[ G_\mu(z) = \sum_nu c_\nu^{(\mu)}F_{(a)}^{(\nu)}(x-a)^\nu, \] wo die Coefficienten \(c_\nu^{(\mu)}\) rationale Zahlen bedeuten, die ein für alle Mal unabhängig von der Wahl des Punktes \(a\) und der Elemente \(F_{(a)}^{(\nu)}\) (auf unendlich viele Arten) bestimmt werden können. Der Beweis für diesen Satz ist derselbe, der in F. d. M. 29, 358-360, 1898 (JFM 29.0358.03), skizzirt worden ist: es soll daher nur über das Gebiet \(A\) berichtet werden, das Mittag-Leffler den zum Punkte \(a\) und den Elementen \(F_{(a)}^{(\nu)}\) gehörigen Stern \((\acute\alpha\sigma\tau\grave\eta\varrho)\) nennt. Ist \(l\) ein vom Punkte \(a\) ausgehender Vector (Halbstrahl), so denke man sich \(\mathfrak P(x|a)\) längs \(l\) fortgesetzt. Entweder gehört dann jeder Punkt von \(l\) dem Convergenzkreise einer analytischen Fortsetzung von \(\mathfrak P(x|a)\) an, oder man stösst einmal auf einen ersten Punkt, der nicht im Innern des Convergenzkreises einer solchen Fortsetzung liegt. In diesem Falle schliesse man von der Ebene der Veränderlichen \(x\) den Teil des Vectors aus, der von \(a\) aus jenseits des singulären Punktes liegt; in jenem Fall möge er ganz beibehalten werden. Lässt man den Vector \(l\) sich einmal um \(a\) herumdrehen und führt für jede Lage von \(l\) diese Construction aus, so ergiebt sich der vorher genannte Stern, der augenscheinlich ein einfach zusammenhängendes Gebiet ist. Zwischen den Potenzreihen und den Summen von Mittag-Leffler besteht ein wichtiger Unterschied: eine Potenzreihe divergirt sicher ausserhalb ihres Convergenzkreises, während man aus den Untersuchungen, über die hier berichtet wird, über die Convergenz der Summen ausserhalb des Sterns nichts aussagen kann. Spätere Abhandlungen von Mittag-Leffler, die erst in den folgenden Bänden berücksichtigt werden können (siehe JFM 31.0404.04), haben gezeigt, dass jene Summen in der That auch ausserhalb des Sterns convergiren, ja sogar dort Functionen darstellen können, die keine Fortsetzung von \(F(x)\) sind. Aus diesem Grunde hat Verf. dort andere Darstellungen eines eindeutigen Zweiges von \(F(x)\) angegeben, die den Stern zum wahren Convergenzgebiete haben, wodurch die vollständige Analogie mit der Taylor'schen Reihe hergestellt wird.
Expansions in series of rational functions. Analytic continuation.
scientific article; zbMATH DE number 2668302