On the analytic representation of a branch of a monogenic function.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the analytic representation of a branch of a monogenic function.
zbMATH Open document ID: 30.0364.05
published in: Atti della Accademia delle Scienze di Torino
publication date: 1899-01-01T00:00:00Z
review text: In der ersten Abhandlung (siehe JFM 30.0364.03) giebt Mittag-Leffler eine zusammenfassende Darstellung von Untersuchungen, über die er im Jahre 1898 der Akademie in Stockholm Mitteilungen gemacht hatte (vergl. F. d. M. 29, 358-361, 1898, JFM 29.0358.03). Die zweite (siehe JFM 30.0364.04) ist eine kurze Anzeige der ersten, die dritte unterscheidet sich davon nur durch einen Zusatz, in dem die Beziehungen zu früheren Arbeiten von Borel und Painlevé dargelegt werden. Es wird daher im folgenden nur über die erste Abhandlung zu berichten sein. Wird einer complexen Zahl \(a\) eine unendliche Reihe von Grössen \(F_{(a)}^{(\mu)}\) \((\mu=0 1,2,\dots)\) zugeordnet, bei denen die obere Grenze der Häufungstellen der absoluten Beträge von \[ \root\mu\of{\frac1{\mu!} F_{(a)}^{(\mu)}} \] eine endliche Zahl \(1/r\) ist, so hat nach einem von Cauchy 1821 entdeckten und neuerdings von Hadamard wiedergefundenen Satze die Potenzreihe \[ \mathfrak P(x|a) = \sum_{\mu=0}^\infty \frac1{\mu!} F_{(a)}^{(\mu)}(x- a)^\mu \] den wahren Convergenzkreis \(C: |x-a|=r\), und die Elemente \(F_{(a)}^{(\mu)}\) bestimmen daher die aus \(\mathfrak P(x|a)\) durch analytische Fortsetzung hervorgehende Function \(F(x)\). Dass eine analytische Function \(F(x)\) durch Elemente \(F_{(a)}^{(\mu)}\) definirt wird, ereignet sich sehr häufig; es geschieht z. B., wenn man in der üblichen Weise verfährt, bei dem Problem der Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen. Die Potenzreihe \(\mathfrak P(x|a)\) giebt, vermöge der Elemente und der von ihrer Wahl unabhängigen rationalen Zahlen \(1/\mu!\), eine Darstellung von \(F(x)\), die für einen eindeutigen Zweig dieser Function innerhalb des Convergenzkreises \(C\) gültig ist; sie lehrt uns also in vielen Fällen, ja für die Praxis in der Regel, nicht einmal einen eindeutigen Zweig der Function vollständig kennen. Dazu bedarf es vielmehr, wenn man nach den Vorschriften der Weierstrass'schen Functionentheorie verfahren will, der analytischen Fortsetzung von \(\math…
Mathematics Subject Classification ID: 30E10
Mathematics Subject Classification ID: 30B40
zbMATH DE Number: 2668302
zbMATH Keywords: Expansions in series of rational functions. Analytic continuation.
MaRDI profile type: Publication
author: Gösta Mittag-Leffler
description: scientific article; zbMATH DE number 2668302