Sur les variétés à trois dimensions.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sur les variétés à trois dimensions.
zbMATH Open document ID: 30.0538.01
author: É. Cotton
published in: Annales de la Faculté des Sciences de l'Université de Toulouse pour les Sciences Mathématiques et les Sciences Physiques. 2ième Série
publication date: 1899-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/72715
review text: Kap. I (S. 389-395) enthält ohne Beweise eine Zusammenstellung älterer Theorien: die Definition der Differentialinvarianten und -covarianten, einer Mannigfaltigkeit mit quadratischem Bogenelemente, Sätze von Christoffel, Ricci, Beltrami über die Bildung von Covarianten, Invarianten und Differentialparametern. Kap. II (395-405) studirt die Bedingungen für die Abwickelbarkeit einer Mannigfaltigkeit von \(n\) Dimensionen mit quadratischem Bogenelemente auf eine andere. Nachdem Verf. gezeigt hat, wie man bei beliebigem \(n\) über die Möglichkeit oder Unmöglichkeit der Abwickelung entscheiden kann, behandelt er den Fall \(n=3\). Er benutzt die beiden Differentialparameter \(\Delta f\) und \(Df\) des quadratischen Bogenelementes \(ds^2\), die in den Differentialquotienten von \(f\) vom zweiten Grade sind, und betrachtet den Ausdruck \(\varrho\delta f+Df\), wo \(\varrho\) eine beliebige Function bezeichnet. Dieser ist covariant zu \(ds^2\); fasst man ihn daher auf als eine ternäre quadratische Form in den Differentialquotienten von \(f\) und setzt die Discriminante dieser Form gleich Null, so erhält man eine Gleichung für \(\varrho\), bei der die symmetrischen Functionen der Wurzeln Invarianten von \(ds^2\) sind. Hierdurch ergeben sich sogleich gewisse Bedingungen für die Transformation zwischen \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) und \(x_1'\), \(x_2'\), \(x_3'\), welche die etwaige Abwickelung der Mannigfaltigkeit mit dem Bogenelemente \(ds^2\) auf eine andere mit dem Bogenelemente \(ds'^2\) vermittelt. Erstens nämlich müssen die erwähnten Invarianten beider Bogenelemente gleich sein, zweitens kann man \(\varrho\delta f+Df\) je nach der Beschaffenheit der Gleichung für \(\varrho\) auf verschiedene Arten durch lineare homogene Functionen der Differentialquotienten von \(f\) ausdrücken, und so erhält man noch weitere Bedingungen für die gesuchte Transformation: diese muss gewisse angebbare infinitesimale Transformationen in den \(x\) in gewisse angebbare in den \(x'\) überführen. Dam…
zbMATH DE Number: 2668897
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2065694919
DOI: 10.5802/AFST.160
description: scientific article; zbMATH DE number 2668897