Sur les variétés à trois dimensions.
Kap. I (S. 389-395) enthält ohne Beweise eine Zusammenstellung älterer Theorien: die Definition der Differentialinvarianten und -covarianten, einer Mannigfaltigkeit mit quadratischem Bogenelemente, Sätze von Christoffel, Ricci, Beltrami über die Bildung von Covarianten, Invarianten und Differentialparametern. Kap. II (395-405) studirt die Bedingungen für die Abwickelbarkeit einer Mannigfaltigkeit von \(n\) Dimensionen mit quadratischem Bogenelemente auf eine andere. Nachdem Verf. gezeigt hat, wie man bei beliebigem \(n\) über die Möglichkeit oder Unmöglichkeit der Abwickelung entscheiden kann, behandelt er den Fall \(n=3\). Er benutzt die beiden Differentialparameter \(\Delta f\) und \(Df\) des quadratischen Bogenelementes \(ds^2\), die in den Differentialquotienten von \(f\) vom zweiten Grade sind, und betrachtet den Ausdruck \(\varrho\delta f+Df\), wo \(\varrho\) eine beliebige Function bezeichnet. Dieser ist covariant zu \(ds^2\); fasst man ihn daher auf als eine ternäre quadratische Form in den Differentialquotienten von \(f\) und setzt die Discriminante dieser Form gleich Null, so erhält man eine Gleichung für \(\varrho\), bei der die symmetrischen Functionen der Wurzeln Invarianten von \(ds^2\) sind. Hierdurch ergeben sich sogleich gewisse Bedingungen für die Transformation zwischen \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) und \(x_1'\), \(x_2'\), \(x_3'\), welche die etwaige Abwickelung der Mannigfaltigkeit mit dem Bogenelemente \(ds^2\) auf eine andere mit dem Bogenelemente \(ds'^2\) vermittelt. Erstens nämlich müssen die erwähnten Invarianten beider Bogenelemente gleich sein, zweitens kann man \(\varrho\delta f+Df\) je nach der Beschaffenheit der Gleichung für \(\varrho\) auf verschiedene Arten durch lineare homogene Functionen der Differentialquotienten von \(f\) ausdrücken, und so erhält man noch weitere Bedingungen für die gesuchte Transformation: diese muss gewisse angebbare infinitesimale Transformationen in den \(x\) in gewisse angebbare in den \(x'\) überführen. Damit aber hat man ein Problem, das nach von Lie gegebenen Vorschriften behandelt werden kann. Die entwickelten Ueberlegungen führen auch zur Bestimmung der Transformationen, die das Bogenelement \(ds^2\) invariant lassen. Statt der Form \(\varrho\delta f+Df\) kann man auch die Form \(\varrho ds^2+d\sigma^2\) betrachten, wo \(d\sigma^2\) die zu \(ds^2\) adjungirte quadratische Form ist, und erhält dann für die gesuchte Transformation ausser den durch die Gleichheit von Invarianten ausdrückbaren Bedingungen noch solche, die aussagen, dass gewisse angebbare Pfaff'sche Ausdrücke in gewisse andere übergehen müssen. Kap. III (S. 405-416) behandelt die conforme Abbildung von Mannigfaltigkeiten mit quadratischem Bogenelemente im Falle \(n=3\). Verf. vereinfacht die Untersuchung namentlich dadurch, dass er zeigt: für \(n=3\) lässt sich jedes \(ds^2\) mit nicht verschwindender Discriminante auf die Form: \(B_1^2dx_1^2+B_2^2dx_2^2+B_3^2dx_3^2\) bringen. In Kap. IV (S. 4l6-423) betrachtet Verf. \(r\)-gliedrige Gruppen \((r\leqq n)\) in \(n\) Veränderlichen, deren infinitesimale Transformationen \(X_1f,\dots,X_rf\) durch keine lineare Identität \(\sum\varphi_k(x_1,\dots,x_n)X_kf=0\) verknüpft sind. Er zeigt, dass zu jeder solchen Gruppe jedenfalls ein System von \(n\) invarianten, linear unabhängigen Pfaff'schen Ausdrücken: \[ l_i(dx) = \sum_j l_{ij}^{(x)}(dx_j)\qquad(i=1,\dots,n) \] gehört, und dass jeder bei der Gruppe invariante Pfaff'sche Ausdruck die Form: \(\sum H_il_k(dx)\) hat, wo die \(H_i\) Invarianten der Gruppe sind. Dieser Satz ist allerdings nur eine andere Formulirung des von Lie bewiesenen Satzes über die zu \(X_1f,\dots,X_rf\) gehörige reciproke Gruppe (Transformationsgruppen I, S. 376 f.); er ist aber in dieser Form besonders geeignet zur Untersuchung der bei der Gruppe \(X_1f,\dots,X_rf\) invarianten Differentialformen, denn jede solche Form lässt sich offenbar durch die \(n\) Pfaff'schen Ausdrücke \(l_i(dx)\) ausdrücken und bekommt dann Coefficienten, die Invarianten der Gruppe \(X_1f,\dots,X_rf\) sind. Diese Coefficienten kann man überdies noch vereinfachen, indem man das System der Invarianten Ausdrücke \(l_i(dx)\) geeignet wählt. Nach dieser Methode werden in Kap. V (S. 423-436) die dreifach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten mit quadratischem Bogenelemente bestimmt, die eine continuirliche Gruppe gestatten, eine Aufgabe, die bisher (von Bianchi) nur für reelle Gruppen und für Mannigfaltigkeiten mit definit positivem \(ds^2\) gelöst war.
scientific article; zbMATH DE number 2668897