Les équations différentielles linéaires et la théorie des groupes.
Der erste Teil der vorliegenden Abhandlung, die sich hauptsächlich auf die einschlägigen Arbeiten von Picard und Vessiot stützt, ist dem analytischen Studium der Singularitäten der linearen Differentialgleichungen mit rationalen Coefficienten und der Klassification ihrer transcendenten Lösungen gewidmet. Im ersten Kapitel zeigt Verf., dass zu jedem singulären Punkte a einer solchen Gleichung eine lineare Transformationsgruppe gehört, welche bei der Untersuchung der Singularität dieselbe Rolle spielt wie die Galois'sche Gruppe bei der Auflösung einer algebraischen Gleichung oder die Rationalitätsgruppe bei der Integration einer linearen Differentialgleichung. Diese Gruppe wird vom Verf. ``Meromorphiegruppe'' genannt, weil ihre Differentialinvarianten in der Umgebung des Punktes \(a\) meromorphe Functionen sind; sie charakterisirt die Natur des singulären Punktes. Für eine Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung giebt es so viele Arten singulärer Punkte, als es Typen von Untergruppen in der linearen Gruppe mit \(n\) Variabeln giebt. Im zweiten Kapitel werden die Beziehungen festgestellt, welche zwischen der Rationalitätsgruppe, der Monodromiegruppe und den Meromorphiegruppen in Bezug auf die verschiedenen singulären Punkte einer linearen Differentialgleichung bestehen. Im dritten Kapitel wird das Anwendungsgebiet der Galois'schen Methoden ausgedehnt und gezeigt, wie dieselben zur Monodromiegruppe führen. Die Rationalitätsgruppe kennzeichnet die Stellung der Integrale in der Gesamtheit der rationalen Functionen, die Monodromiegruppe ihre Stellung in der Gesamtheit der eindeutigen Functionen und die Meromorphiegruppe für ein bestimmtes Gebiet ihre Stellung in der Gesamtheit der in diesem Gebiete meromorphen Functionen. Verf. zeigt, welchen Weg man von diesem Gesichtspunkte aus für die analytische Untersuchung der Integrale einschlagen muss. Das vierte Kapitel enthält eine Anwendung der vorhergehenden Resultate auf die Klassification der transcendenten Integrale der linearen Differentialgleichungen mit rationalen Coefficienten, sowie einige Eigenschaften der Differentialgleichungen derselben Art und eine Methode, um zu erkennen, ob zwei gegebene Differentialgleichungen zu derselben Art gehören oder nicht. --- Der zweite Teil der Arbeit ist der Bestimmung der Rationalitätsgruppe einer Differentialgleichung mit rationalen (oder algebraischen) Coefficienten gewidmet. Das fünfte Kapitel enthält die Auseinandersetzung des allgemeinen Problems und giebt den Weg an, den man zur Lösung desselben für eine Differentialgleichung beliebiger Ordnung einschlagen muss. In den folgenden Kapiteln VI, VII und VIII beschäftigt sich Verf. mit den Differentialgleichungen zweiter, dritter und vierter Ordnung und zeigt durch eine neue Einteilung der homogenen linearen Gruppen, dass man die Bestimmung der Rationalitätsgruppe auf die Lösung des folgenden Problems zurückführen kann: ``Zu untersuchen, ob eine lineare Differentialgleichung mit rationalen Coefficienten ein Integral besitzt, dessen logarithmische Ableitung rational oder algebraisch ist.'' Man kann dieses Problem stets lösen und gelangt zu folgendem Schluss: ``Die Rationalitätsgruppe einer linearen Differentialgleichung zweiter, dritter und vierter Ordnung kann stets bestimmt oder diese Bestimmung auf die Untersuchung eines Abel'schen Integrals zurückgeführt werden.'' Man findet so auf die einfachste Weise alle möglichen Fälle der Reduction einer linearen Differentialgleichung vierter Ordnung und kennt in jedem Falle die algebraischen. Beziehungen, welche zwischen der unabhängigen Variable und den Elementen eines Fundamentalsystems bestehen. Verf. zeigt auch, wie man diese Beziehungen zur Vereinfachung des Integrationsproblems und zur Reduction desselben auf seine kanonische Form benutzen kann. Die vom Verf. befolgte Methode lässt sich unmittelbar auf die Differentialgleichungen höherer Ordnung ausdehnen. --- Im IX. Kapitel führt Verf. das Problem der Bestimmung der zu einem singulären Punkte einer linearen Differentialgleichung gehörigen Monodromiegruppe auf die folgende kanonische Form zurück: ``Zu untersuchen, ob eine lineare Differentialgleichung mit rationalen Coefficienten ein Integral besitzt, dessen logarithmische Ableitung meromorph ist (Normalintegral).'' Er zeigt, wie die Arbeiten von H. von Koch die Behandlung dieser Frage ermöglichen.
scientific article; zbMATH DE number 2670677