Concerning the abstract groups of order \(k!\) and \(\frac12 k!\) holohedrically isomorphic with the symmetric and the alternating substitution-groups on \(k\) letters.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Concerning the abstract groups of order \(k!\) and \(\frac12 k!\) holohedrically isomorphic with the symmetric and the alternating substitution-groups on \(k\) letters.
zbMATH Open document ID: 28.0121.03
author: E. H. Moore
published in: Proceedings of the London Mathematical Society
publication date: 1897-01-01T00:00:00Z
review text: Nach Cayley kann jede abstracte Gruppe durch ein System erzeugender Symbole, verbunden mit einer Anzahl erzeugender Relationen, definirt werden. Verf. beweist in Bezug auf diese Darstellungsart abstracter, mit den symmetrischen und alternirenden Substitutionsgruppen holoedrisch isomorpher Gruppen vier Theoreme, von denen die beiden wichtigsten folgendermassen lauten: 1) Die abstracte Gruppe \(G(k)\;(k\geqq 2)\), welche durch die \(k-1\) Erzeugenden \(B_d\,(d=1,2,\dots,k-1)\) mit den erzeugenden Relationen \[ \begin{aligned} B_d^2 &=1\;(d=1,2,\dots,k-1),\\ (B_dB_{d+1})^3 &=1\;(d=1,2,\dots,k-2),\\ (B_dB_e)^2 &=1 \left(\begin{aligned} d &=1,2,\dots,k-3\\ e &=d+2,d+3,\dots,k-1 \end{aligned}\right)\end{aligned} \] definirt wird, hat die Ordnung \(O(k)=k!\) und ist holoedrisch isomorph mit der symmetrischen Substitutionsgruppe von \(k\) Buchstaben. 2) Die abstracte Gruppe \(G\{k\}\;(k\geqq3)\), welche durch die \(k-2\) Erzeugenden \(E_d\,(d=1,2,\dots,k-2)\) mit den erzeugenden Relationen \[ \begin{aligned} E_1^3=1,\;E_d^2 &=1\;(d=2,3,\dots,k-2),\\ (E_dE_{d+1})^3 &=1\;(d=1,2,\dots,k-3),\\ (E_dE_e)^2 &=1 \left(\begin{aligned} d &=1,2,\dots,k-4\\ e &=d+2,d+3,\dots,k-2 \end{aligned}\right)\end{aligned} \] definirt wird, hat die Ordnung \(O\{k\}=\frac12 k!\) und ist holoedrisch isomorph mit der alternirenden Substitutionsgruppe von \(k\) Buchstaben.
zbMATH DE Number: 2672866
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s1-28.1.357
OpenAlex ID: W2076482594
DOI: 10.1112/PLMS/S1-28.1.357
description: scientific article; zbMATH DE number 2672866