On the operations in general and linear differential equations of infinite order.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the operations in general and linear differential equations of infinite order.
zbMATH Open document ID: 28.0350.02
published in: Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série
publication date: 1897-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/81108
review text: Der Verfasser untersucht eine sehr allgemeine Kategorie von Operationen, die er Transmutationen nennt. Eine solche wird dadurch definirt, dass man jeder regulären Function von \(n\) Variabeln nach irgend einem Gesetze eine andere der nämlichen Variabeln entsprechen lässt. Ausführlich wird auf den Fall einer einzigen Variable \(x\) eingegangen. Es wird vorausgesetzt, dass die zu transmutirende Function \(u\) innerhalb eines gewiesen Gebietes regulär ist, die neue Function wird die transmutirte (transmuée) von \(u\) genannt und mit \(Tu\) bezeichnet. Eine Transmutation heisst continuirlich, wenn sie die Eigenschaft hat, dass, falls die Function \(u\) eine Grenze hat, \(\lim [Tu]=T[\lim u]\) ist; regulär, wenn die Transmutirte jeder regulären Function im allgemeinen eine reguläre Function ist; eindeutig, wenn jeder regulären Function nur eine Transmutirte entspricht. Die wichtigste Transmutation ist die additive, welche die Relation \(T(u+v)=Tu+Tv\) erfüllt. Die Untersuchung aller Transmutationen von der Eigenschaft, dass zwischen den Transmutirten der drei Functionen \(\pi_1(u,v)\), \(\pi_2(u,v)\), \(\pi_3(u,v)\), wo \(\pi_1\), \(\pi_2\), \(\pi_3\) gegebene und \(u\) und \(v\) beliebige Functionen sind, eine gegebene Relation existirt, lässt sich nämlich, wie gezeigt wird, auf die Untersuchung der additiven Transmutation zurückführen. Es gilt nun der Satz: Jede additive eindeutige, continuirliche und reguläre Transmutation kann durch eine Reihe von der Form \[ Tu=a_0u + \frac{a_1}1\frac{du}{dx} + \frac{a_2}{1.2}\frac{d^2u}{dx^2} + \cdots + \frac{a_m}{m!}u^{(m)} + \cdots \] dargestellt werden, wo \(a_0,a_1,a_2,\dots\) reguläre Functionen bedeuten. Diese sind vollständig bestimmt, wenn die Transmutirten von \(1,x,x^2,\dots\), die mit \(w_0(x)\), \(w_1(x)\), \(w_2(x)\) bezeichnet seien, bekannt sind. Die Transmutation kann man dann symbolisch schreiben: \[ Tu=w_0u + (w-x)\frac{u'}1 + (w-x)^2\frac{u''}{1.2} + \cdots + (w- x)^m\frac{u^{(m)}}{m!}, \] wo in der Entwickelung …
Mathematics Subject Classification ID: 39B42
zbMATH DE Number: 2673478
zbMATH Keywords: Continuous linear operators
zbMATH Keywords: linear systems of equations.
author: C. Bourlet
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2602195214
DOI: 10.24033/ASENS.443
description: scientific article; zbMATH DE number 2673478