On a generalization of the continued fraction algorithm
type: Item
instance of: scholarly article
title: On a generalization of the continued fraction algorithm
zbMATH Open document ID: 27.0170.02
publication date: 1896-01-01T00:00:00Z
review text: In diesem Werke werden neue Algorithmen gegeben, welche für die algebraischen Zahlen des kubischen Körpers folgende drei Aufgaben zu lösen ermöglichen: 1) ein System von Fundamentaleinheiten zu finden, 2) zu unterscheiden, ob zwei gegebene Ideale äquivalent sind, und 3) die Anzahl aller Idealklassen zu bestimmen. Da diese Aufgaben für die algebraischen Zahlen des quadratischen Körpers bekanntlich durch die Anwendung des Kettenbruch-Algorithmus gelöst sind, so betrachtet der Verf. den Kettenbruch-Algorithmus auch von demselben Standpunkte wie die von ihm gegebenen Algorithmen. Alle diese Algorithmen stellen die Gesamtheit von Operationen dar, mit deren Hülfe ``successive relative Minima mehrerer simultaner Linearformen'' berechnet werden. Das Werk besteht aus drei Teilen. Im ersten Teile: ``Successive relative Minima des Systems simultaner Linearformen \(\omega=X\lambda+X'\mu\) und \(\omega'=X\lambda'+X'\mu'\) mit ganzen rationalen Veränderlichen'' wird der Begriff ``der relativen Minima dieser Formen'' durch folgende Bestimmung her gestellt. Wenn bei gewissen Werten der Veränderlichen \(X\) und \(X'\) die simultanen Formen \(\omega=X\lambda +X'\mu\) und \(\omega'=X\lambda'+X'\mu'\) solche Werte \(\omega_0\) und \(\omega_0'\) bekommen, dass es unmöglich ist, ganze rationale Zahlen \(t\) und \(t'\) zu finden, welche gleichzeitig den Ungleichheiten \(| t\lambda+t'\mu|<|\omega_0|\) und \(| t\lambda'+t'\mu'| <|\omega_0'|\) \((t\neq 0\), \(t'\neq 0\) gleichzeitig) genügen, so sind die Zahlen \(\omega_0\) und \(\omega_0'\) relative Minima der gegebenen Formen. Die betrachteten Formensysteme werden durch das Symbol \(\left[\begin{smallmatrix}\l & \l\\ \lambda,& \mu\\ \lambda',& \mu' \end{smallmatrix}\right]\) bezeichnet. Die Gesamtheit der Werte \(\omega_0\) und \(\omega_0'\) der gegebenen Formen nennt der Verf. das System (\(\omega,\omega'\)). Die Systeme (\(\omega,\omega'\)) und (\(-\omega,-\omega'\)) werden nicht als verschieden angesehen; man betrachtet also nur solche,…
Mathematics Subject Classification ID: 11A55
Mathematics Subject Classification ID: 11H50
Mathematics Subject Classification ID: 11J13
Mathematics Subject Classification ID: 11R16
Mathematics Subject Classification ID: 11R27
Mathematics Subject Classification ID: 11R29
zbMATH DE Number: 2675843
zbMATH Keywords: continued fractions
zbMATH Keywords: minima of forms
zbMATH Keywords: linear forms
zbMATH Keywords: cubic extensions
zbMATH Keywords: units
zbMATH Keywords: class numbers
author: G. Th. Woronoj
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2675843