On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves.
zbMATH Open document ID: 26.0881.02
author: D. J. Korteweg
author: Gustav de Vries
published in: The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, V. Series
publication date: 1895-01-01T00:00:00Z
review text: Der Hauptgegenstand dieser Abhandlung ist die Erforschung der Frage, ob lange Wellen in einem rechteckigen Kanale notwendig beim Vorrücken ihre Gestalt ändern, steiler nach vorn und minder steil nach hinten werden müssen. Die Rechnungen sind etwas mühsam, doch möge der folgende Umriss das Wesen der Arbeit andeuten. Zuerst wird die Gestaltswandlung eines Systems von Wellen willkürlicher Form untersucht, die sich jedoch nur nach einer Richtung bewegen; hierbei wird die Oberfläche des Systems in angenäherte Ruhe gebracht, indem zu der Bewegung der Flüssigkeit eine gleichförmige Bewegung mit einer der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellen gleichen und entgegengesetzten Geschwindigkeit hinzugefügt wird. Wenn \(l+\eta\) (wo \(\eta\) eine kleine Grösse ist, die Erhebung der Flüssigkeit über den Boden in einem horizontalen Abstande \(x\) vom Coordinatenanfange ist, so liefert die Herleitung die folgende Gleichung: \[ \frac{\partial\eta}{\partial t} = \frac32\sqrt{\frac gl}\cdot \frac{\partial\left(\frac12\eta^2 + \frac23\alpha\eta + \frac13\sigma\frac{\partial^2\eta}{\partial x^2}\right)}{\partial x}, \] wo \(\alpha\) eine kleine, sonst aber willkürliche Constante ist, die in engem Zusammenhange mit der genauen Geschwindigkeit der gleichmässigen, der Flüssigkeit erteilten Bewegung steht, und wo \(\sigma=\frac13l^3-Tl/\varrho g\) von der Tiefe \(l\) der Flüssigkeit, von der capillaren Spannung \(T\) an ihrer Oberfläche und von ihrer Dichtigkeit \(\varrho\) abhängt. Für stationäre Wellen ist \(\partial\eta/\partial t=0\), und es wird gezeigt, dass aus dieser Gleichung für die Einzelwelle (solitary wave) \[ \eta = \operatorname{sech}^2\left(x\sqrt{\frac h{4\sigma}}\right) \] folgt. In diesem letzteren Falle ist zu beachten, dass bei Berücksichtigung der Capillarität eine negative Welle zur stationären wird, wenn die Tiefe klein genug ist. Hiernach führt die Erforschung der allgemeinen Lösung zu der Entdeckung eines neuen Typus einer langen stationären Welle, bei der die Ges…
zbMATH DE Number: 2679684
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description: scientific article; zbMATH DE number 2679684