Bildung zusammengesetzter Gruppen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Bildung zusammengesetzter Gruppen.
zbMATH Open document ID: 26.0160.01
DOI: 10.1007/BF01450217
author: O. Hölder
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1895-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/157764
review text: Will man die Gruppen bilden, die aus einer endlichen Zahl von Operationen bestehen, so kann man zuerst die einfachen Gruppen bestimmen und dann die zusammengesetzten Gruppen aus ihren einfachen Bestandteilen aufbauen. Der Aufbau einer zusammengesetzten Gruppe \(G\) wird durch eine Reihe der Zusammensetzung \(G\), \(H\), \(K\), \(L\), ..., 1 charakterisirt. Hier bedeutet z. B. \(K\) eine ausgezeichnete Untergruppe von \(H\), und es soll nicht möglich sein, eine von \(H\) und \(K\) verschiedene Gruppe zu finden, die \(K\) umfasst und in \(H\) ausgezeichnet enthalten ist, d. h. es soll \(K\) eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe von \(G\) sein. So ist in der Reihe der Zusammensetzung jede Gruppe ausgezeichnete Maximaluntergruppe der vorhergehenden. Es sind nun durch die Reihe der Zusammensetzung gewisse Gruppen \(G/H\), \(H/K\), ... völlig bestimmt (vergl. Hölder, Math. Ann. XXXIV. 31 und C. Jordan, S. M. F. Bull. I. 1873. 46), welche Verf. als Factorgruppen von \(G\) bezeichnet. Trotzdem dieselbe Gruppe \(G\) mehrere Reihen der Zusammensetzung zulassen kann, so ist doch die Gesamtheit ihrer Factorgruppen eine völlig bestimmte. Man kann jetzt durch Umkehrung der so eben angestellten Betrachtung die Aufgabe formuliren, eine Gruppe zu bilden, welche gegebene Factorgruppen hat. Diese Aufgabe lässt vielfach mehrere Lösungen zu. Die Factorgruppen sind stets einfache Gruppen. Es genügt häufig, statt der Factorgruppen die Ordnungen derselben, also blosse Zahlen, anzugeben. Die Angabe dieser Zahlen leistet dasselbe wie die Angabe der Factorgruppen, wenn man weiss, dass jede dieser Zahlen nur einer einzigen einfachen Gruppe als Ordnung angehört. Die Ordnungen der Factorgruppen einer Gruppe \(G\) sind das, was Herr C. Jordan die Factoren der Zusammensetzung der Gruppe \(G\) nennt. Um nun die Gruppe \(G\) aus ihren Factorgruppen zu bilden, hat man die Reihe der Zusammensetzung von ihrem rechten Ende her zu construiren. Man hat dabei mehrmals das Problem zu lösen: ``eine Gruppe \…
zbMATH DE Number: 2678212
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description: scientific article; zbMATH DE number 2678212