Ueber die numerische Auflösung von Differentialgleichungen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Ueber die numerische Auflösung von Differentialgleichungen.
zbMATH Open document ID: 26.0341.01
DOI: 10.1007/BF01446807
author: C. Runge
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1895-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/157756
review text: Zur näherungsweisen Berechnung der Lösung einer Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx}=f(x,y)\) setzt Euler \(\varDelta y=f(x_0,y_0)\varDelta X\). Dieses Verfahren, bei welchem \(\varDelta y\), nach Potenzen von \(\varDelta X\) entwickelt, nur im Gliede erster Ordnung mit der Entwickelung des wahren Wertes von \(\varDelta y\) übereinstimmt, ersetzt der Verfasser durch ein anderes, welches der Simpson'schen Regel für die Berechnung eines bestimmten Integrals entspricht, und bei dem die Uebereinstimmung des Näherungswertes von \(\varDelta y\) mit dem wahren Werte in den Entwickelungen nach Potenzen von \(\varDelta X\) bis zu den Gliedern dritter Ordnung einschliesslich stattfindet. Man setze als Näherungswerte: \[ 1)\quad \varDelta y = f(x_0+\tfrac12\varDelta X,\, y_0+\tfrac12f(x_0,y_0)\varDelta X)\varDelta X, \] \[ 2)\quad \varDelta y = \frac{\varDelta'y + \varDelta'''y}2, \] wo \[ \varDelta'y = f(x_0, y_0)\varDelta x,\quad \varDelta''y = f(x_0+\varDelta X, y_0+\varDelta'y)\varDelta X, \] \[ \varDelta'''y = f(x_0+\varDelta X, y_0+\varDelta''y)\varDelta X. \] Bezeichnet man den ersten Näherungswert mit \(N_1\), den zweiten mit \(N_2\), so stellt \(N_1+\frac13(N_2-N_1)\) den gesuchten verbesserten Näherungswert dar. Dieses Verfahren wird auf simultane Differentialgleichungen erster Ordnung und damit auf Differentialgleichungen beliebiger Ordnung ausgedehnt. An einzelnen Beispielen wird der Gang der Rechnung dargelegt.
zbMATH DE Number: 2678600
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q56169259
OpenAlex ID: W1998583908
description: scientific article; zbMATH DE number 2678600