On the sums that depend on the positive values of an arbitrary function.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the sums that depend on the positive values of an arbitrary function.
zbMATH Open document ID: 26.0441.02
publication date: 1895-01-01T00:00:00Z
review text: In der Abhandlung ``Ueber die Summen, welche aus den Werten der einfachsten Monome, mit einer beständig positiv bleibenden Function multiplicirt, gebildet sind'' (St. Petersb. Denkschr. LXIV. 1-67, F. d. M. XXIII. 1891. 418, JFM 23.0418.01), hat der berühmte russische Gelehrte die Auflösung der Gleichungen \[ \sum_0^p y_i = C_0,\quad \sum_0^p x_iy_i = C_1,\quad\dots,\quad \sum_0^p x_i^{2k-1}y_i = C_{2k-1}\tag{1} \] (alle \(y_i\) sind grösser als Null) behandelt und für den Fall \(p=k\), wo die Anzahl der Unbekannten gleich der Anzahl der Gleichungen ist, gezeigt, dass diese Gleichungen eine Lösung haben, welche mit Hülfe der Entwickelung des Ausdruckes \[ \frac{C_0}x + \frac{C_1}{x^2} +\cdots+ \frac{C_{2k-1}}{x^{2k}} \] in einen Kettenbruch sehr leicht zu finden ist. Der Zweck der vorliegenden, letzten Arbeit Tschebyschew's ist der, zu zeigen, dass man aus diesen Gleichungen (1) für den Fall \(p=k\) die Ungleichheiten erhalten kann, welchen alle reellen Lösungen der Gleichungen genügen: \[ \sum_0^p u_i^2 = C_0,\quad \sum_0^p z_iu_i^2 = C_1,\quad\dots,\quad \sum_0^p z_i^{2k-1}u_i^2 = C_{2k-1},\tag{2} \] und zwar bei jeder möglichen Anzahl der Unbekannten, also wenn diese Gleichungen unbestimmt werden. Es werden dazu im \S\ 2 die Grenzen gefunden, zwischen denen sich die Summe \(u_h^2+u_{h+1}^2+\cdots+u_{p-1}^2\) befindet; nämlich man hat \[ \begin{aligned} u_h^2 +\cdots+ u_{p-1}^2 &< y_i + y_{i+1} +\cdots+ y_{k-1},\\ u_h^2 +\cdots+ u_{p-1}^2 &> y_{i+1} + y_{i+2} +\cdots+ y_{k-1},\end{aligned} \] wo \(y_i\), \(y_{i+1}\), ..., \(y_{k-1}\) die in einer gewissen bestimmten Ordnung genommenen Lösungen der Gleichungen (1) für den Fall \(p=k\) sind. Man kann immer die Gleichungen (1) in der Form annehmen: \[ \begin{multlined} \sum_0^k y_i^{(0)} = c_0 - e_0,\quad \sum_0^k x_i^{(0)}y_i^{(0)} = c_1 + e_1,\quad\dots,\\ \sum (x_i^{(0)})^{2k-1}y_i^{(0)} = c_{2k-1} + e_{2k-1},\end{multlined}\tag{3} \] und in \S\ 3 und folgenden bestimmt der Verfasser das Maximum und das Minimum de…
Mathematics Subject Classification ID: 26B99
zbMATH DE Number: 2678744
zbMATH Keywords: solutions of the system \(\sum_0^p u_i^2 = C_0, \sum_0^p z_iu_i^2 = C_1, \dots, \sum_0^p z_i^{2k-1}u_i^2 = C_{2k-1}\)
MaRDI profile type: Publication
author: Pafnuty Chebyshev
description: scientific article; zbMATH DE number 2678744